Phương trình đường thẳng nào sau đây tạo với đường thẳng \(d:2x - \,y\, - 1\, = 0\) một góc \(45^\circ \)?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_1}:2x - y + 5 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_1}} \left( {2; - 1} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(2x - y + 5 = 0\)  song song hoặc trùng nhau. Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng \(0^\circ \). Do đó A sai.

+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_2}:x - y - 5 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {1; - 1} \right)\).

Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\].

Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(18,4^\circ \). Do đó B sai.

+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_3}:x + 3y = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_3}} \left( {1;3} \right)\)

Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_3}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\].

Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(81,9^\circ \). Do đó C sai.

 + Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_4}:x - 3y - 2 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_4}} \left( {1; - 3} \right)\).

Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_4}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_4}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].

Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(45^\circ \). Do đó D đúng.