Một lớp có \[15\] học sinh nam và \(20\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn \(5\) bạn học sinh sao cho trong đó có đúng \(3\) học sinh nữ?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( {0;3} \right)\).

Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\), khi đó \(d\) đi qua \(A\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IA} \) là một vectơ pháp tuyến

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 5 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Ta có \(\overrightarrow {OI}  = \left( { - 4;3} \right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(OI\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).

Gọi \(OI \cap \left( C \right) = \left\{ M \right\}\).  Khi đó \(M\left( { - 4t;3t} \right)\).

Vì \(M \in \left( C \right)\) nên ta có: \({\left( { - 4t} \right)^2} + {\left( {3t} \right)^2} + 8.\left( { - 4t} \right) - 6.\left( {3t} \right) + 16 = 0\)

\[ \Leftrightarrow 25{t^2} - 50t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{8}{5}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\]

Với \(t = \frac{8}{5} \Rightarrow {M_1}\left( { - \frac{{32}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)\).

Với \(t = \frac{2}{5} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{8}{5};\frac{6}{5}} \right)\).

Ta có \(O{M_1} = \sqrt {{{\left( { - \frac{{32}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}}  = 8,O{M_2} = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2}}  = 2\).

Vì vậy độ dài nhỏ nhất của \(OM\) là \(O{M_{\min }} = O{M_2} = 2\).