Cho hai đường thẳng \[d:2x - y + 3 = 0\] và \[\Delta :x + 3y - 2 = 0\]. Đường thẳng \(d\) cắt \(\Delta \) tại \(A\). Điểm \(M\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\). Lấy điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(\Delta \). Viết phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(A\) và điểm \(M'\).

Giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\Delta \) là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\x + 3y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 3\\x + 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\].

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \):  \(\Delta ':3x - y + c = 0\)

Vì \(M \in \Delta ' \Rightarrow 3.0 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 3\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta ':3x - y + 3 = 0\)

Gọi \[H\] là giao điểm của \(\Delta '\) và đường thẳng \(\Delta \). Tọa độ \[H\] là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\\3x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\3x - y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{7}{{10}}\\y = \frac{9}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{7}{{10}};{\rm{ }}\frac{9}{{10}}} \right)\].

Ta có \[H\] là trung điểm của \(MM'\). Từ đó suy ra tọa độ \(M'\left( { - \frac{7}{5};{\rm{ }} - \frac{6}{5}} \right)\)

Viết phương trình đường thẳng \(d'\) chính là phương trình đường thẳng \(AM'\):

Ta có phương trình đường thẳng \(AM'\) đi qua \[A( - 1;1)\], có vectơ chỉ phương là  vectơ \(\overrightarrow {AM'}  = \left( {\frac{2}{5};{\rm{ }}\frac{{11}}{5}} \right)\) suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {\frac{{11}}{5};{\rm{ }} - \frac{2}{5}} \right)\)

\(d' = AM':\frac{{11}}{5}\left( {x + 1} \right) - \frac{2}{5}\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 11x - 2y + 13 = 0\)