Cho hai đường thẳng \[d:2x - y + 3 = 0\] và \[\Delta :x + 3y - 2 = 0\]. Đường thẳng \(d\) cắt \(\Delta \) tại \(A\). Điểm \(M\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\). Lấy điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(\Delta \). Viết phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(A\) và điểm \(M'\).

Hướng dẫn giải

Do \(n\) là số lẻ nên ta đặt \(n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{N},k \ge 1} \right)\).

Số phần tử không gian mẫu là:\(n\left( \Omega  \right) = C_{2k + 1}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố: “\(3\) đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù”

Giả sử tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat A,\widehat B\) là góc  nhọn và  góc \(\widehat C\)  tù

Chọn một đỉnh bất kì làm đỉnh \(A\) có \(2k + 1\) cách

Khi đó còn lại \(2k\) đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm \(2\), mỗi bên là \(k\)  đỉnh

Để tạo thành tam giác tù thì \(2\) đỉnh còn lại phải được chọn từ \(k\) đỉnh cùng thuộc một phía so với điểm đã chọn do đó có \(C_k^2 + C_k^2\) cách chọn

Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại \(2\) lần nên

\(n\left( A \right) = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {C_k^2 + C_k^2} \right)}}{{2!}} = \left( {2k + 1} \right)C_k^2\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{\left( {2k + 1} \right)C_k^2}}{{C_{2k + 1}^3}} = \frac{{45}}{{62}}\).

\( \Leftrightarrow 62\frac{{k!}}{{2!\left( {k - 2} \right)!}}.\left( {2k + 1} \right) = 45\frac{{\left( {2k + 1} \right)!}}{{3!\left( {2k - 2} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow 62\frac{{k\left( {k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{2} = 45\frac{{2k\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right)}}{6}\)

\( \Leftrightarrow 62{k^3} - 31{k^2} - 31k = 60{k^3} - 15k\)

\( \Leftrightarrow 2{k^3} - 31{k^2} - 16k = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 16\\k =  - \frac{1}{2}\\k = 0\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện \(k = 16\) thoả mãn bài toán.

Vậy \(n = 33\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Ta có \(\overrightarrow {OI}  = \left( { - 4;3} \right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(OI\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).

Gọi \(OI \cap \left( C \right) = \left\{ M \right\}\).  Khi đó \(M\left( { - 4t;3t} \right)\).

Vì \(M \in \left( C \right)\) nên ta có: \({\left( { - 4t} \right)^2} + {\left( {3t} \right)^2} + 8.\left( { - 4t} \right) - 6.\left( {3t} \right) + 16 = 0\)

\[ \Leftrightarrow 25{t^2} - 50t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{8}{5}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\]

Với \(t = \frac{8}{5} \Rightarrow {M_1}\left( { - \frac{{32}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)\).

Với \(t = \frac{2}{5} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{8}{5};\frac{6}{5}} \right)\).

Ta có \(O{M_1} = \sqrt {{{\left( { - \frac{{32}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}}  = 8,O{M_2} = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2}}  = 2\).

Vì vậy độ dài nhỏ nhất của \(OM\) là \(O{M_{\min }} = O{M_2} = 2\).