Cho hai đường thẳng \[d:2x - y + 3 = 0\] và \[\Delta :x + 3y - 2 = 0\]. Đường thẳng \(d\) cắt \(\Delta \) tại \(A\). Điểm \(M\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\). Lấy điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(\Delta \). Viết phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(A\) và điểm \(M'\).
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\Delta \) là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\x + 3y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\x + 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\].
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \): \(\Delta ':3x - y + c = 0\)
Vì \(M \in \Delta ' \Rightarrow 3.0 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 3\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta ':3x - y + 3 = 0\)
Gọi \[H\] là giao điểm của \(\Delta '\) và đường thẳng \(\Delta \). Tọa độ \[H\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\\3x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\3x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{7}{{10}}\\y = \frac{9}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{7}{{10}};{\rm{ }}\frac{9}{{10}}} \right)\].
Ta có \[H\] là trung điểm của \(MM'\). Từ đó suy ra tọa độ \(M'\left( { - \frac{7}{5};{\rm{ }} - \frac{6}{5}} \right)\)
Viết phương trình đường thẳng \(d'\) chính là phương trình đường thẳng \(AM'\):
Ta có phương trình đường thẳng \(AM'\) đi qua \[A( - 1;1)\], có vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {AM'} = \left( {\frac{2}{5};{\rm{ }}\frac{{11}}{5}} \right)\) suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {\frac{{11}}{5};{\rm{ }} - \frac{2}{5}} \right)\)
\(d' = AM':\frac{{11}}{5}\left( {x + 1} \right) - \frac{2}{5}\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 11x - 2y + 13 = 0\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right)\).
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\), khi đó \(d\) đi qua \(A\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IA} \) là một vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 5 = 0\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Ta có \(\overrightarrow {OI} = \left( { - 4;3} \right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(OI\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).
Gọi \(OI \cap \left( C \right) = \left\{ M \right\}\). Khi đó \(M\left( { - 4t;3t} \right)\).
Vì \(M \in \left( C \right)\) nên ta có: \({\left( { - 4t} \right)^2} + {\left( {3t} \right)^2} + 8.\left( { - 4t} \right) - 6.\left( {3t} \right) + 16 = 0\)
\[ \Leftrightarrow 25{t^2} - 50t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{8}{5}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\]
Với \(t = \frac{8}{5} \Rightarrow {M_1}\left( { - \frac{{32}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)\).
Với \(t = \frac{2}{5} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{8}{5};\frac{6}{5}} \right)\).
Ta có \(O{M_1} = \sqrt {{{\left( { - \frac{{32}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}} = 8,O{M_2} = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2}} = 2\).
Vì vậy độ dài nhỏ nhất của \(OM\) là \(O{M_{\min }} = O{M_2} = 2\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập