Bác Bình muốn sơn mặt xung quanh của một cây cột có dạng hình trụ với chiều cao bằng \(300{\rm{ cm}}\)và đường kính đáy bằng \(30{\rm{ cm}}\)(tham khảo hình vẽ). Chi phí sơn là \(200{\rm{ 000}}\) đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi bác Bình cần phải trả bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

a) \(A = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{x\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\,\)

        \( = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) - x\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

        \( = \frac{{x\sqrt x  + x + \sqrt x  + 1 - x\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

        \( = \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

        \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\).

b) Khi \(x = 4\) ta có \(A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4  - 1}} = \frac{2}{{2 - 1}} = 2\)

Vậy khi \(x = 4\) thì \(A = 2\).    

a) Vì \(MA,\,MB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) nên \(MA = MB\), suy ra \(M\) thuộc trung trực của \(AB\) \(\left( 1 \right)\).

Xét \(\left( O \right)\) có \(OA = OB\) suy ra \(O\) thuộc trung trực của \(AB\) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(OM\) là đường trung trực của \(AB\) hay \(OM \bot AB\) tại \(P\).

Ta có \(OA = OC\) suy ra \(\Delta AOC\) cân tại \(O\), khi đó \(ON \bot AC\) hay \(ON \bot AN\).

Gọi \(I\) là trung điểm của của \(OA\) mà các \(\Delta OPA\), \(\Delta ONA\) lần lượt vuông tại \(P,{\rm{ }}N\) nên ta có \(IP = IN = IA = IO = \frac{{OA}}{2}\).

Vậy bốn  điểm \(A,{\rm{ }}P,{\rm{ }}N,{\rm{ }}O\) cùng thuộc \(\left( {I;{\rm{ }}\frac{{AO}}{2}} \right)\).

b) Ta có \(MA = MB\) nên \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) \(\left( 3 \right)\)

Do \(\Delta ABC\)cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) \(\left( 4 \right)\)

Xét \(\Delta MPA\) và \(\Delta MAO\) có:

\(\widehat {MPA} = \widehat {MAO} = 90^\circ \)

\(\widehat {AMO}\) chung

Suy ra \(\left( {{\rm{g}}{\rm{.g}}} \right)\).

Nên \(\widehat {MAB} = \widehat {MAP} = \widehat {MOA} = \frac{1}{2}\widehat {BOA}\) \(\left( 5 \right)\)

Mà \(\widehat C\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {BOA}\) \(\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\), \(\left( 4 \right)\), \(\left( 5 \right)\), \(\left( 6 \right)\) suy ra \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC}\).

Xét \(\Delta MAB\)và \(\Delta ACB\) có:

\(\widehat {MAB} = \widehat {ACB}\) (cmt)

\(\widehat {MBA} = \widehat {ABC}\) (cmt)

Suy ra \(\left( {g.g} \right)\).

Ta có \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(\frac{{MB}}{{2MK}} = \frac{{AB}}{{2AN}}\) nên \(\frac{{MB}}{{MK}} = \frac{{AB}}{{AN}}\).

Xét \(\Delta MBK\)và \(\Delta ABN\) có:

\(\widehat M = \widehat A\)

\(\frac{{MB}}{{MK}} = \frac{{AB}}{{AN}}\) (cmt)

Suy ra \(\left( {c.g.c} \right)\).

Khi đó \(\frac{{BM}}{{BK}} = \frac{{BA}}{{BN}}\)

Lại có \(BA = AC\) nên \(\frac{{BM}}{{BK}} = \frac{{CA}}{{BN}}\) hay \(BM{\rm{ }}.{\rm{ }}BN = CA\,\,.{\rm{ }}BK\).