Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Gọi \(Ax\); \(By\) là hai tia vuông góc và nằm về cùng một phía với \(AB\) (tham khảo hình vẽ).

Lấy điểm \(M\)trên nửa đường tròn (\(M\) khác \(A;B\)). Kẻ tiếp tuyến với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\)cắt các tia \(Ax\); \(By\) lần lượt tại \(C\); \(D\).

a) ĐÚNG

Vì \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\)nên \(OM \bot CD\) tại \(M\)

Vậy khẳng định a) đúng.

b) SAI

Xét \(\Delta OMD\) có \(\widehat {OMD} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \) Điểm \(O\); \(M\); \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(OD\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta OBD\) có \(\widehat {OBD} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \) Điểm \(O\); \(B\); \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(OD\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(O\); \(M\); \(D\); \(B\) thuộc đường tròn đường kính \(OD\)

Suy ra: tứ giác \(OMDB\) là tứ giác nội tiếp.

Vậy khẳng định b) sai.

c) ĐÚNG

Ta có: \(DM\) và \(DB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(D\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: \(OD\) là tia phân giác của góc \(\widehat {BOM}\).

Vậy khẳng định c) Đúng.

d) ĐÚNG

Vì \(AB = 10{\rm{ cm}}\)nên bán kính \(R = 5{\rm{ cm}}\)

Ta có: \(\widehat {MDO} = \widehat {BDO} = \frac{1}{2}\widehat {MDB} = \frac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ \)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét \(\Delta OMD\) vuông tại \(M\) có:

\(MD = OM.\cot \widehat {MDO} = 5.\cot 30^\circ  = 5\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

\(OD = OM:\sin \widehat {MDO} = 5:\sin 30^\circ  = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Xét \(\Delta MDB\) có \(DM = DB\) và \(\widehat {MDB} = 60^\circ \) nên \(\Delta MDB\) đều

Suy ra: \(MB = MD = 5\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Ta có: \(\widehat {BOM} = 180^\circ  - \widehat {BDM} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \)

Tứ giác \(OMDB\) có hai đường chéo vuông góc nên:

\({S_{OMDB}} = \frac{1}{2}.OD.MB = \frac{1}{2}.10.5\sqrt 3  = 25\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích hình quạt \(BOM\) là: \(\frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}{\rm{ = }}\frac{{\pi {{.5}^2}.120^\circ }}{{360^\circ }}{\rm{ = }}\frac{{50\pi }}{3}{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích phần tô đậm bằng: \(25\sqrt 3  - \frac{{50\pi }}{3} = \frac{{75\sqrt 3  - 50\pi }}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Vậy khẳng định d) Đúng.