Bạn Phúc gieo một con xúc xắc có sáu mặt cân đối, đồng chất hai lần liên tiếp.

a)     Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

b)     Tính xác suất của biến cố A: “Tích số chấm xuất hiện của hai lần gieo là số chia hết cho 5”.

a) Vì \[BK\] vuông góc với \[BC\] nên \[\widehat {BKC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta BKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Vì \[CN\] vuông góc với \[BC\] nên \[\widehat {BNC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta BNC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Do đó, tứ giác \[BNKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Vì tứ giác \[BNKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\](cmt) nên \[\widehat {ABH} = \widehat {NCA}\]\[(1)\]

b) Vì \[CE\] vuông góc với \[AM\] nên \[\widehat {AEC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta AEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\].

Vì \[CN\] vuông góc với \[AB\] nên \[\widehat {ANC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta ANC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\].

Do đó, tứ giác \[ANEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Suy ra \[\widehat {NEA} = \widehat {NCA}\]\[(2)\]

Từ \[(1)\] và \[(2)\] suy ra \[\widehat {ABH} = \widehat {NEA}\].

Gọi \[P\] là trung điểm của \[BC\]. Dễ dàng chứng minh được \[OP\] vuông góc \[BC\].

Do đó \[\widehat {OPC} = 90^\circ \]. Mà \[\widehat {OEC} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[OPEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OC\].

 Suy ra \[\widehat {PEO} = \widehat {PCO}\] \[(3)\]

c) Xét \[\Delta OPC\] và \[\Delta ANC\] có

\[\widehat {OPC} = \widehat {ANC} = 90^\circ \]

\[\widehat {POC} = \widehat {NAC}\left( {\frac{1}{2}\widehat {BOC}} \right)\]

\[ \Rightarrow \widehat {PCO} = \widehat {NCA}\]\[(4)\]

Từ \[(3)\] và \[(4)\] suy ra \[\widehat {PEO} = \widehat {ACN}\] \[(5)\]

Từ \[(1)\] và \[(5)\] suy ra \[\widehat {NEA} = \widehat {PEO}\], suy ra \[N,P,E\] thẳng hàng.

\[2{x^2} - 6x + 1 = 0\]

(với \[a = 2;b =  - 6;c = 1\])

Có \[\Delta  = {( - 6)^2} - 4.2.1 = 28 > 0\]

Do \[\Delta  > 0\] nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}.{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Khi đó \[B = x_1^2 + x_2^2 + 2025 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} + 2025 = {3^2} - 2.\frac{1}{2} + 2025 = 2033\].