Cho phương trình \[2{x^2} - 6x + 1 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\]. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức \[B = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2025\].

a) Vì \[BK\] vuông góc với \[BC\] nên \[\widehat {BKC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta BKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Vì \[CN\] vuông góc với \[BC\] nên \[\widehat {BNC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta BNC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Do đó, tứ giác \[BNKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Vì tứ giác \[BNKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\](cmt) nên \[\widehat {ABH} = \widehat {NCA}\]\[(1)\]

b) Vì \[CE\] vuông góc với \[AM\] nên \[\widehat {AEC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta AEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\].

Vì \[CN\] vuông góc với \[AB\] nên \[\widehat {ANC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta ANC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\].

Do đó, tứ giác \[ANEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Suy ra \[\widehat {NEA} = \widehat {NCA}\]\[(2)\]

Từ \[(1)\] và \[(2)\] suy ra \[\widehat {ABH} = \widehat {NEA}\].

Gọi \[P\] là trung điểm của \[BC\]. Dễ dàng chứng minh được \[OP\] vuông góc \[BC\].

Do đó \[\widehat {OPC} = 90^\circ \]. Mà \[\widehat {OEC} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[OPEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OC\].

 Suy ra \[\widehat {PEO} = \widehat {PCO}\] \[(3)\]

c) Xét \[\Delta OPC\] và \[\Delta ANC\] có

\[\widehat {OPC} = \widehat {ANC} = 90^\circ \]

\[\widehat {POC} = \widehat {NAC}\left( {\frac{1}{2}\widehat {BOC}} \right)\]

\[ \Rightarrow \widehat {PCO} = \widehat {NCA}\]\[(4)\]

Từ \[(3)\] và \[(4)\] suy ra \[\widehat {PEO} = \widehat {ACN}\] \[(5)\]

Từ \[(1)\] và \[(5)\] suy ra \[\widehat {NEA} = \widehat {PEO}\], suy ra \[N,P,E\] thẳng hàng.

a) Gọi \[(x,y)\] là số chấm xuất hiện ở lần tung thứ nhất và thứ hai.

Không gian mẫu của phép thử là:

\[\begin{array}{l}\Omega  = \{ (1,1);\,(1,2);\,(1,3);\,(1,4);\,(1,5);\,(1,6);\,(2,1);\,(2,2);\,(2,3);\,(2,4);\,(2,5);\,(2,6);\\\,(3,1);\,(3,2);\,(3,3);\,(3,4);\,(3,5);\,(3,6);\,(4,1);\,(4,2);\,(4,3);\,(4,4);\,(4,5);\,(4,6);\,\\(5,1);\,(5,2);\,(5,3);\,(5,4);\,(5,5);\,(5,6);\,(6,1);\,(6,2);\,(6,3);\,(6,4);\,(6,5);\,(6,6)\} \end{array}\]

Số phần tử của không gian mẫu là \[n(\Omega ) = 36\].

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố A “Tích số chấm xuất hiện của hai lần gieo là số chia hết cho 5”  là \[\{ (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,5);(6,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,6)\} \]

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là \[n(A) = 11\]

Xác suất của biến cố A là \[P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{11}}{{36}}\]