Cho phương trình \[2{x^2} - 6x + 1 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\]. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức \[B = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2025\].

a) Vì \[BK\] vuông góc với \[BC\] nên \[\widehat {BKC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta BKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Vì \[CN\] vuông góc với \[BC\] nên \[\widehat {BNC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta BNC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Do đó, tứ giác \[BNKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Vì tứ giác \[BNKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\](cmt) nên \[\widehat {ABH} = \widehat {NCA}\]\[(1)\]

b) Vì \[CE\] vuông góc với \[AM\] nên \[\widehat {AEC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta AEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\].

Vì \[CN\] vuông góc với \[AB\] nên \[\widehat {ANC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta ANC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\].

Do đó, tứ giác \[ANEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

Suy ra \[\widehat {NEA} = \widehat {NCA}\]\[(2)\]

Từ \[(1)\] và \[(2)\] suy ra \[\widehat {ABH} = \widehat {NEA}\].

Gọi \[P\] là trung điểm của \[BC\]. Dễ dàng chứng minh được \[OP\] vuông góc \[BC\].

Do đó \[\widehat {OPC} = 90^\circ \]. Mà \[\widehat {OEC} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[OPEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OC\].

 Suy ra \[\widehat {PEO} = \widehat {PCO}\] \[(3)\]

c) Xét \[\Delta OPC\] và \[\Delta ANC\] có

\[\widehat {OPC} = \widehat {ANC} = 90^\circ \]

\[\widehat {POC} = \widehat {NAC}\left( {\frac{1}{2}\widehat {BOC}} \right)\]

\[ \Rightarrow \widehat {PCO} = \widehat {NCA}\]\[(4)\]

Từ \[(3)\] và \[(4)\] suy ra \[\widehat {PEO} = \widehat {ACN}\] \[(5)\]

Từ \[(1)\] và \[(5)\] suy ra \[\widehat {NEA} = \widehat {PEO}\], suy ra \[N,P,E\] thẳng hàng.

\[\begin{array}{l}2\left( {x + 1} \right) - 3 = 0\\2(x + 1) = 3\\x + 1 = \frac{3}{2}\\x = \frac{1}{2}\end{array}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = \frac{1}{2}\]