Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,(AB < AC)\). Gọi \(D,E\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AC\) và \(AB\). Đường tròn đường kính \(AC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(F\). Chứng minh \(A,E,F,D\) cùng thuộc một đường tròn.

Bên trong một biển quảng cáo hình tròn tâm \(O\) đường kính 70 cm , người thợ vẽ hai đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)\) có cùng bán kính, tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc trong với đường tròn \(\left( O \right)\) để trang trí (tham khảo hình vẽ). Tính (theo \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)) diện tích nhỏ nhất của phần thuộc hình tròn \(\left( O \right)\) mà không thuộc hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)\) (phần không tô đen), làm tròn kết quả đển hàng đơn vị.

Tính giá trị của biếu thức \[S = \sqrt 4 - \sqrt {{3^2}} + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\]

Trước khi sắp xếp, tỉnh Tây Ninh có tất cả 94 đơn vị hành chính cấp xã (gọi tắt là đơn vị). Theo Công thông tin điện từ tỉnh Tây Ninh (tayninh.gov.vn) thì sau khi sắp xếp, tỉnh Tây Ninh dự kiến có 36 đơn vị, trong đó có 2 đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 5 đơn vị cũ và có 4 đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 4 đơn vị cũ. Hỏi có bao nhiêu đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 2 đơn vị cũ và có bao nhiêu đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 3 đơn vị cũ? Biết rằng không còn trường hợp sáp nhập nào khác.

Biết phương trình \({x^2} - 3mx - 1 = 0\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\). Tính giá trị của biểu thức: \(T = x_1^2 + x_2^2 + 3m\left( {x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2} \right) - 7.\)