Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây

                a) \(\frac{{3x}}{{x - 1}} = 2\)

                b) \({x^2} + 5x + 6 = 0\)

                 c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 8\\2x - 3y = 7\end{array} \right.\)

a)

Đồ thị hàm số là đường cong Parabol đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right);M\left( { - 2;4} \right)\); \(N\left( { - 1;1} \right)\); \(P\left( {1;1} \right)\); \(Q\left( {2;4} \right)\) và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

b) Giả sử toạ độ điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) có \({x_A} > 0\); \({y_A} > 0\).

Vì \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \in \left( P \right)\) nên \(A\left( {{x_A};x_A^2} \right)\).

Vì \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(Oy\) nên \(A'\left( { - {x_A};x_A^2} \right)\).

Vì \(B\) và \(B'\) là hình chiếu của \(A\) và \(A'\) lên trục hoành nên \(B\left( {{x_A};0} \right);B'\left( { - {x_A};0} \right)\)

Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \(x_A^2\).

Độ dài đoạn thẳng \(BB'\) là \({x_A} + {x_A} = 2{x_A}\).

Vì \(AA'B'B\) là hình vuông nên \(AB = BB'\).

Tức là \(x_A^2 = 2{x_A}\)

\(x_A^2 - 2{x_A} = 0\)

\({x_A}\left( {{x_A} - 2} \right) = 0\)

Vì \({x_A} > 0\) nên \({x_A} = 2\). Khi đó \({y_A} = {2^2} = 4\).

Vậy toạ độ điểm \(A\) là \(\left( {2;4} \right)\).

a) Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(M\) tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác \(ABC\) có bán kính \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\).

b)  \(AMND\) là hình vuông nên \(MA = MN\).

Mà \(MA = MB = MC\) nên \(MN = MA = MB = MC\), do đó \(A,B,C,N\) cùng thuộc \(\left( M \right)\).

Vậy tứ giác \(ABCN\) nội tiếp được đường tròn.

c)  Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).

Mà \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\) (do tam giác \(MAC\) cân tại \(M\)) nên

\(\tan \widehat {MAF} = \frac{{MF}}{{MA}} = \tan \widehat {ACB}\) \( \Rightarrow \frac{{MF}}{5} = \frac{3}{4} \Rightarrow MF = \frac{{15}}{4}\).

Ta có \({S_{AMF}} = \frac{1}{2}AM \cdot MF = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{{15}}{4} = \frac{{75}}{8}\)

\({S_{AMND}} = A{M^2} = {5^2} = 25\).

\({S_{AFND}} = {S_{AMND}} - {S_{AMF}} = 25 - \frac{{75}}{8} = \frac{{125}}{8}\).

Vậy diện tích tứ giác \(AFND\) là \(\frac{{125}}{8}\).