Một hộp có chứa một tấm thẻ màu xanh, tấm thẻ màu vàng và một tấm thẻ màu đỏ. Các tấm thẻ có cùng loại, cùng kích thước và khối lượng.

Bạn Mai và bạn Lan lần lượt lấy ra ngẫu nhiên một tấm thẻ thử hộp.

a)     Xác định không gian mẫu của phép thử.

b)     Tính xác suất của biến cố A “có một tấm thẻ màu đỏ trong hai tấm thẻ được lấy ra”.

Đặt \[BC = x\]

Khi đó \(AB = 2\sqrt {25 - {x^2}} \)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

\(S = CD.AB = x.2\sqrt {25 - {x^2}} = 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \,(c{m^2})\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

\({x^2} + \left( {25 - {x^2}} \right) \ge 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \) hay \(25 \ge 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \)

Hay \(S = 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \le 25\)

Dấu bằng xảy ra khi \({x^2} = 25 - {x^2}\) suy ra \({x^2} = \frac{{25}}{2}\)hay \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy diện tích lớn nhát của hình chữ nhật là \(25\,c{m^2}\) khi \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

\(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt 5 } \right| + \left| {\sqrt 5 + 2} \right| = 3 - \sqrt 5 + \sqrt 5 + 2 = 5\,\,\,\left( {vì,\,3 > \sqrt 5 \,} \right)\)