Cho tam giác nhọn \[\Delta \,ABC\] không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh \[BC\,,\,\,CA\,,\,\,AB\] lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng:

          a) \[A{F^2} = AP.AD\].

          b) Tứ giác PQID nội tiếp và \[N{B^2} = NM.NA.\]

          c) QA là phân giác của \[\widehat {\,PQ{T_\,}\,}\].

          d) \[\widehat {\,AD{F_\,}\,} = \widehat {\,QD{E_\,}\,}\].

a) Ta có:

\[\begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2{y^2} = 2\left( {xy + 1} \right)\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} - 2x + 2{y^2} = 2xy + 2\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2x = 2\,\,\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} - 2x + {y^2} - 2y + 1 + 2y = 3\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{\left( {x - y} \right)^2} - 2\left( {x - y} \right) + {\left( {y - 1} \right)^2} = 3\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{\left( {x - y} \right)^2} - 2\left( {x - y} \right) + 1 + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - y - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\,\,\left( { = {0^2} + {2^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 1 = 2\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 1 = - 2\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 0\\x - y - 1 = - 2\end{array} \right.\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 0\\x - y - 1 = 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 0\end{array} \right.\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 4\end{array} \right.\]

Vậy \[\left( {x\,\,;\,\,y} \right)\,\, = \,\,\left( {4\,\,;\,\,3} \right)\,\,;\,\,\left( {0; - 1} \right)\,\,;\,\,\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\,\,;\,\,\left( {4\,\,;\,\,1} \right).\]

b) Ta có:

\[\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} - p = 6xy - 8\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,p\, = \,{x^3} + {y^3} - 6xy + 8\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,p\, = \,{\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 6xy + 8\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,p\, = \,\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} + 8} \right] - 3xy\left( {x + y + 2} \right)\,\\\, \Leftrightarrow \,p\, = \,\left( {x + y + 2} \right)\,\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2\left( {x + y} \right) + 4 - 3xy} \right]\end{array}\]

Do \[p\] là số nguyên tố nên:

\[\left[ \begin{array}{l}\left( {x + y + 2} \right) = 1\,\,\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right) + 4 - 3xy\, = 1\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,{\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right) + 4 - 3xy\, = 1\,\,\,\]

(Vì: \[x\,;\,y\,\, \in \,\,{\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x + y + 2\,\, \ge \,\,4\])

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,{\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right) + 4 - 3xy\, = 1\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^2}\, + 2xy + {y^2} - 2x - 2y - 3xy = - 3\,\,\\ \Leftrightarrow \,{x^2}\, - xy + {y^2} - 2x - 2y = - 3\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\, \Leftrightarrow \,\,4{x^2}\, - 4xy + 4{y^2} - 8x - 8y = - 12\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{\left( {2x - y} \right)^2}\, + 3{y^2} - 4\left( {2x - y} \right) + 4 - 12y + 12 = 4\end{array}\]

\[\, \Leftrightarrow \,\,{\left( {2x - y - 2} \right)^2}\, + 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 4\,\left( { = {1^2} + {{3.1}^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = 1\\y - 2 = 1\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = 1\\y - 2 = - 1\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = - 1\\y - 2 = 1\end{array} \right.\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = - 1\\y - 2 = - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\]

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,p = 8\,\,\left( {KTM} \right)\]

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,p = 5\,\,\left( {TM} \right)\,\]

TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,p = 7\,\,\left( {TM} \right)\]

TH4: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,p = 4\,\,\left( {KTM} \right)\]

Vì: \[p\] là số nguyên tố lớn nhất \[ \Rightarrow \,\,p = 7\]

Vậy \[p = 7\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1) Gọi vận tốc dự định của xe đạp là: \[x\,\,\left( {km/h} \right)\,;\,\,x\,\, > \,0.\]

Vận tốc sau khi tăng tốc là: \[x + 3\,\,\left( {km/h} \right)\,.\]

Thời gian dự định là: \[\frac{{40}}{x}\,\left( h \right)\,.\]

Quãng đường từ lúc tăng tốc là: \[40 - 20 = 20\,\,\left( {km} \right)\,.\]

Thời gian lúc chưa tăng tốc là: \[\frac{{20}}{x}\,\,\left( h \right)\,.\]

Thời gian từ lúc tăng tốc là: \[\frac{{20}}{{x + 3}}\,\,\left( h \right)\,.\]

Theo đề bài ta có: \[\frac{{20}}{x} + \frac{1}{3} + \frac{{20}}{{x + 3}}\, = \frac{{40}}{x}\,\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 12\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\x =  - 15\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\]

Vậy vận tốc dự định của xe đạp là: 12 (km/h)

2) a) Ta có: \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 2m + 5 = {m^2} - 4m + 6 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2\,\, > \,\,0\,\,\forall \,m\]

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo Vi-et ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x_1^{} + x_2^{} = 2\left( {m - 1} \right)\\x_1^{}x_2^{} = 2m - 5\end{array} \right.\]

Do: \[x_1^{};\,\,x_2^{}\] là nghiệm của phương trình nên ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x_{^1}^2 - 2\left( {m - 1} \right)x_1^{} + 2m - 5 = 0\\x_{^2}^2 - 2\left( {m - 1} \right)x_2^{} + 2m - 5 = 0\end{array} \right.\,\,\\ \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x_{^1}^2 - 2mx_1^{} + 2x_1^{} + 2m - 1 - 4 = 0\\x_{^2}^2 - 2mx_2^{} + 2x_2^{} + 2m - 1 - 4 = 0\end{array} \right.\,\,\\ \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x_{^1}^2 - 2mx_1^{} + 2m - 1 = 4 - 2x_1^{}\\x_{^2}^2 - 2mx_2^{} + 2m - 1 = 4 - 2x_2^{}\end{array} \right.\end{array}\]

Mà: \[\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\,\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1} \right)\,\, < \,\,0\,\,\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {4 - 2{x_1}} \right)\,\left( {4 - 2{x_2}} \right)\,\, < \,0\,\\\, \Leftrightarrow \,\,16 - 8\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\, + 4{x_1}{x_2}\,\, < \,0\,\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \,\,16 - 8.2\left( {m - 1} \right)\, + 4\left( {2m - 5} \right)\,\, < \,0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,12 - 8m\,\, < \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,m\,\, < \,\frac{3}{2}\,\].