a) Cho hai số thực dương \[x;y\] thỏa mãn: \[x + y\,\, \le \,\,\frac{2}{3}\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[A = 53x + 53y\,\, + \,\,\frac{1}{{{x^2}}}\, + \,\,\frac{1}{{{y^2}}}\].

b) Cho ba số thực dương \[x;y\,,\,z\] thỏa mãn: \[{x^2} + {y^2}\,\, + {z^2} \ge \,\,3\]. Chứng minh rằng:

\[\left( {{x^4} + {y^4}\,\, + {z^4}} \right)\,\, + \,\,\left( {{x^3} + {y^3}\,\, + {z^3}} \right) \ge \,\,3\, + x + y + z\].

a) Xét \[\Delta \,AFP\,\] và \[\Delta \,ADF\] có:

 (đpcm).

b) Vì: AF và AE là 2 tiếp tuyến của \[\left( I \right)\,\, \Rightarrow \,AI\,\] là trung trực của FE \[\, \Rightarrow \,AI\, \bot \,FE\] tại Q.

\[\, \Rightarrow \,A\,{F^2} = AQ.AI\] (hệ thức lượng) \[\, \Rightarrow \,AQ.AI = AP.AD\,\,\left( { = A\,{F^2}} \right)\,\, \Rightarrow \,\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AI}}{{AD}}\].

Xét \[\Delta \,APQ\] và \[\Delta \,AID\] có: \[\,\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AI}}{{AD}}\,\,\left( {cmt} \right)\,;\,\,\widehat {\,A\,\,\,}Chung\]

 nội tiếp (vì: \[\widehat {\,AQP\,}\]là góc ngoài tại đỉnh Q)

Ta có: \[\widehat {\,{A_1}\,}\, = \,\,\widehat {\,{A_2}\,}\] (vì: AI là tia phân giác)

Xét \[\Delta \,ABN\] và \[\Delta \,BMN\] có: \[\,\widehat {\,{B_1}\,}\, = \,\,\widehat {\,{A_2}\,}\,\,\left( {cmt} \right)\,;\,\,\widehat {\,N\,\,\,}Chung\]

 (đpcm)

c) Ta có:

Mà: \[\,\left\{ \begin{array}{l}\,\,\widehat {\,IDP\,} = \,\,\widehat {\,AQP\,}\,\left( {cmt} \right)\\\widehat {\,AQT\,}\, = \,\,\widehat {\,IQD\,}\,\left( {doi\,\,dinh} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {\,AQP\,}\, = \,\widehat {\,AQT\,}\,\, \Rightarrow \,\] đpcm

d) Gọi \[K\] là giao điểm của \[AI\,\] với

Mà:  đpcm.

a) Ta có:

\[\begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2{y^2} = 2\left( {xy + 1} \right)\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} - 2x + 2{y^2} = 2xy + 2\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2x = 2\,\,\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} - 2x + {y^2} - 2y + 1 + 2y = 3\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{\left( {x - y} \right)^2} - 2\left( {x - y} \right) + {\left( {y - 1} \right)^2} = 3\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{\left( {x - y} \right)^2} - 2\left( {x - y} \right) + 1 + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - y - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\,\,\left( { = {0^2} + {2^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 1 = 2\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 1 = - 2\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 0\\x - y - 1 = - 2\end{array} \right.\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 0\\x - y - 1 = 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 0\end{array} \right.\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 4\end{array} \right.\]

Vậy \[\left( {x\,\,;\,\,y} \right)\,\, = \,\,\left( {4\,\,;\,\,3} \right)\,\,;\,\,\left( {0; - 1} \right)\,\,;\,\,\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\,\,;\,\,\left( {4\,\,;\,\,1} \right).\]

b) Ta có:

\[\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} - p = 6xy - 8\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,p\, = \,{x^3} + {y^3} - 6xy + 8\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,p\, = \,{\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 6xy + 8\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,p\, = \,\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} + 8} \right] - 3xy\left( {x + y + 2} \right)\,\\\, \Leftrightarrow \,p\, = \,\left( {x + y + 2} \right)\,\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2\left( {x + y} \right) + 4 - 3xy} \right]\end{array}\]

Do \[p\] là số nguyên tố nên:

\[\left[ \begin{array}{l}\left( {x + y + 2} \right) = 1\,\,\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right) + 4 - 3xy\, = 1\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,{\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right) + 4 - 3xy\, = 1\,\,\,\]

(Vì: \[x\,;\,y\,\, \in \,\,{\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x + y + 2\,\, \ge \,\,4\])

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,{\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right) + 4 - 3xy\, = 1\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^2}\, + 2xy + {y^2} - 2x - 2y - 3xy = - 3\,\,\\ \Leftrightarrow \,{x^2}\, - xy + {y^2} - 2x - 2y = - 3\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\, \Leftrightarrow \,\,4{x^2}\, - 4xy + 4{y^2} - 8x - 8y = - 12\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,{\left( {2x - y} \right)^2}\, + 3{y^2} - 4\left( {2x - y} \right) + 4 - 12y + 12 = 4\end{array}\]

\[\, \Leftrightarrow \,\,{\left( {2x - y - 2} \right)^2}\, + 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 4\,\left( { = {1^2} + {{3.1}^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = 1\\y - 2 = 1\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = 1\\y - 2 = - 1\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = - 1\\y - 2 = 1\end{array} \right.\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = - 1\\y - 2 = - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\, \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\]

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,p = 8\,\,\left( {KTM} \right)\]

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,p = 5\,\,\left( {TM} \right)\,\]

TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,p = 7\,\,\left( {TM} \right)\]

TH4: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,p = 4\,\,\left( {KTM} \right)\]

Vì: \[p\] là số nguyên tố lớn nhất \[ \Rightarrow \,\,p = 7\]

Vậy \[p = 7\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.