Cho các số dương \[a;b;c\] thỏa mãn \[\sqrt {a + b + ab + 1} + c = 6\]. Chứng minh rằng:

a) \[a + b + 2c \ge 10\].

b) \[\frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \frac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \frac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\].

a) Vì \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz\] nên \[2xyz\] chẵn, nên tồn tại ít nhất 1 số chẵn, giả sử là x chẵn.

Khi đó: \[{x^2} \vdots 4;\,\,\,\,2{\rm{x}}yz \vdots 4 \Rightarrow {y^2} + {z^2} \vdots 4\]  (*)

Nếu y lẻ \[ \Rightarrow \] \[{y^2}\] lẻ \[ \Rightarrow \] lẻ \[{z^2}\]\[ \Rightarrow \] \[z\] lẻ

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2k + 1 \Rightarrow {y^2} = 4{k^2} + 4k + 1\\z = 2m + 1 \Rightarrow {z^2} = 4{m^2} + 4m + 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k;m \in Z} \right)\]

\[ \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 4{k^2} + 4k + 4{m^2} + 4m + 2\]

\[ \Rightarrow {y^2} + {z^2}\] chia 4 dư 2 (không thỏa mãn(*))

Do đó y chẵn và z chẵn \[ \Rightarrow y \vdots 2;\,\,\,z \vdots 2\]

\[ \Rightarrow xyz \vdots 8\,\,\,(1)\]

Giả sử cả 3 số x, y, z đều không chia hết cho 3 vì x; y; z chẵn nên \[{x^2};{y^2};{z^2} \equiv 1(mo{\rm{d}}\,{\rm{3)}}\]

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \vdots 3\]

Do đó \[2xyz \vdots 3 \Rightarrow xyz \vdots 3\]  (mâu thuẫn với giả thiết x, y, z đều không chia hết cho 3)

Nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 hay \[xyz \vdots 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\]

Từ (1) và (2) suy ra: \[xyz \vdots 24\]

Vậy \[xyz \vdots 24\].

b) Đặt \[A = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2a + 2b\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}{\left( {a + b + c + 1} \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} + 2\left( {a + b + c} \right) + 1 > A\\{\left( {a + b + c - 1} \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {a + b + c} \right) + 1 < A\end{array}\]

Nên \[{\left( {a + b + c - 1} \right)^2} < A < {\left( {a + b + c + 1} \right)^2}\]

Mà A chính phương nên \[A = {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

\[ \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2{\rm{a}} + 2b = {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 2{\rm{a}} = 2b \Leftrightarrow a = b\]

Vậy tất cả các bộ (a; b; c) cần tìm là (k; k; m) với k, m nguyên dương bất kì.

a) Giải phương trình \[4{x^2} - x - 3 = 2\sqrt {x + 2} \]         (ĐKXĐ: \[x \ge  - 2\])

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\[\begin{array}{l}{\left( {4{x^2} - x - 3} \right)^2} = 4\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 16{x^4} + {x^2} + 9 - 8{x^3} + 6x - 24{x^2} = 4x + 8\\ \Leftrightarrow 16{x^4} - 8{x^3} - 23{x^2} + 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {16{x^4} + 16{x^3}} \right) - \left( {24{x^3} + 24{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 16{x^3}\left( {x + 1} \right) - 24{x^2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + {1^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {16{x^3} - 24{x^2} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {16{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {20{x^2} - 5x} \right) - \left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {4{x^2}\left( {4x - 1} \right) - 5x\left( {4x - 1} \right) - \left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 5x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\4x - 1 = 0\\4{x^2} - 5x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{1}{4}\\4{x^2} - 5x - 1 = 0\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\]

Giải (*):\[\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.4.\left( { - 1} \right) = 41\]

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {41} }}{8}\\x = \frac{{5 - \sqrt {41} }}{8}\end{array} \right.\]

Thử lại vào phương trình đã cho ta được tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - 1;\frac{{5 + \sqrt {41} }}{8}} \right\}\].

b) Giải phương trình: \[{x^2} + \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 5\]     (ĐKXĐ: \[x \ne  - 2\])

\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} + \frac{{4{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{2x}}{{x + 2}}} \right)^2} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right)^2} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,(1)\]

Đặt \[t = \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}\], phương trình (1) trở thành: \[{t^2} + 4t - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,(2)\]

Vì \[1 + 4 + ( - 5) = 0\] nên phương trình (2) có 2 nghiệm \[{t_1} = 1;\,\,{t_2} =  - 5\]

Với \[{t_1} = 1\] ta có:

\[\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\,\,\,\,\,(3)\]

Vì \[1 - ( - 1) + ( - 2) = 0\] nên phương trình (3) có 2 nghiệm \[{x_1} =  - 1\,\,(tm);\,\,{x_2} = 2\,\,(tm)\]

Với \[{t_2} =  - 5\] ta có:

 \[\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} =  - 5 \Leftrightarrow {x^2} + 5{\rm{x}} + 10 = 0\] (Vô lí vì \[{x^2} + 5x + 10 = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\,\,\,\,\forall x \in R\])

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[S = \left\{ { - 1;2} \right\}\]

c) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{x}}^2} + {y^2} + x + y = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Ta có: \[(2) \Leftrightarrow (2{x^2} - 2xy) - (xy - {y^2}) + (x - y) + (2x - y) + 1 = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x(x - y) - y(x - y) + (x - y) + (2x - y) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)(2x - y) + (x - y) + (2x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)(2x - y + 1) + (2x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (2x - y + 1)(x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\y = x + 1\end{array} \right.\end{array}\]

Thay \[y = 2x + 1\] vào (1) ta được:

\[{x^2} + {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8 \Leftrightarrow 5{x^2} + 7x - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\]

\[\Delta  = {7^2} - 4.5.\left( { - 6} \right) = 169\]

Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 7 + \sqrt {169} }}{{2.5}} = \frac{3}{5}\\x = \frac{{ - 7 - \sqrt {169} }}{{2.5}} =  - 2\end{array} \right.\]

Với \[x = \frac{3}{5} \Rightarrow y = 2.\frac{3}{5} + 1 = \frac{{11}}{5}\]

Với \[x =  - 2 \Rightarrow y = 2.\left( { - 2} \right) + 1 =  - 3\]

Thay \[y = x + 1\] vào (1) ta được: \[{x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + x + x + 1 = 8\] \[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 6 = 0\,\,\,\,(4)\]

Vì \[2 + 4 + \left( { - 6} \right) = 0\]nên phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt: \[x = 1;x =  - 3\]

Với \[x = 1 \Rightarrow y = 2\]

Với \[x =  - 3 \Rightarrow y =  - 2\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \[\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right)} \right\}\].