Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm 2021-2022 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc có đáp án

a) Giải phương trình \[4{x^2} - x - 3 = 2\sqrt {x + 2} \]         (ĐKXĐ: \[x \ge  - 2\])

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\[\begin{array}{l}{\left( {4{x^2} - x - 3} \right)^2} = 4\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 16{x^4} + {x^2} + 9 - 8{x^3} + 6x - 24{x^2} = 4x + 8\\ \Leftrightarrow 16{x^4} - 8{x^3} - 23{x^2} + 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {16{x^4} + 16{x^3}} \right) - \left( {24{x^3} + 24{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 16{x^3}\left( {x + 1} \right) - 24{x^2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + {1^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {16{x^3} - 24{x^2} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {16{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {20{x^2} - 5x} \right) - \left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {4{x^2}\left( {4x - 1} \right) - 5x\left( {4x - 1} \right) - \left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 5x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\4x - 1 = 0\\4{x^2} - 5x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{1}{4}\\4{x^2} - 5x - 1 = 0\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\]

Giải (*):\[\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.4.\left( { - 1} \right) = 41\]

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {41} }}{8}\\x = \frac{{5 - \sqrt {41} }}{8}\end{array} \right.\]

Thử lại vào phương trình đã cho ta được tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - 1;\frac{{5 + \sqrt {41} }}{8}} \right\}\].

b) Giải phương trình: \[{x^2} + \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 5\]     (ĐKXĐ: \[x \ne  - 2\])

\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} + \frac{{4{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{2x}}{{x + 2}}} \right)^2} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right)^2} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,(1)\]

Đặt \[t = \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}\], phương trình (1) trở thành: \[{t^2} + 4t - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,(2)\]

Vì \[1 + 4 + ( - 5) = 0\] nên phương trình (2) có 2 nghiệm \[{t_1} = 1;\,\,{t_2} =  - 5\]

Với \[{t_1} = 1\] ta có:

\[\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\,\,\,\,\,(3)\]

Vì \[1 - ( - 1) + ( - 2) = 0\] nên phương trình (3) có 2 nghiệm \[{x_1} =  - 1\,\,(tm);\,\,{x_2} = 2\,\,(tm)\]

Với \[{t_2} =  - 5\] ta có:

 \[\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} =  - 5 \Leftrightarrow {x^2} + 5{\rm{x}} + 10 = 0\] (Vô lí vì \[{x^2} + 5x + 10 = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\,\,\,\,\forall x \in R\])

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[S = \left\{ { - 1;2} \right\}\]

c) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{x}}^2} + {y^2} + x + y = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Ta có: \[(2) \Leftrightarrow (2{x^2} - 2xy) - (xy - {y^2}) + (x - y) + (2x - y) + 1 = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x(x - y) - y(x - y) + (x - y) + (2x - y) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)(2x - y) + (x - y) + (2x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)(2x - y + 1) + (2x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (2x - y + 1)(x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\y = x + 1\end{array} \right.\end{array}\]

Thay \[y = 2x + 1\] vào (1) ta được:

\[{x^2} + {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8 \Leftrightarrow 5{x^2} + 7x - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\]

\[\Delta  = {7^2} - 4.5.\left( { - 6} \right) = 169\]

Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 7 + \sqrt {169} }}{{2.5}} = \frac{3}{5}\\x = \frac{{ - 7 - \sqrt {169} }}{{2.5}} =  - 2\end{array} \right.\]

Với \[x = \frac{3}{5} \Rightarrow y = 2.\frac{3}{5} + 1 = \frac{{11}}{5}\]

Với \[x =  - 2 \Rightarrow y = 2.\left( { - 2} \right) + 1 =  - 3\]

Thay \[y = x + 1\] vào (1) ta được: \[{x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + x + x + 1 = 8\] \[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 6 = 0\,\,\,\,(4)\]

Vì \[2 + 4 + \left( { - 6} \right) = 0\]nên phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt: \[x = 1;x =  - 3\]

Với \[x = 1 \Rightarrow y = 2\]

Với \[x =  - 3 \Rightarrow y =  - 2\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \[\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right)} \right\}\].

a) Vì \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz\] nên \[2xyz\] chẵn, nên tồn tại ít nhất 1 số chẵn, giả sử là x chẵn.

Khi đó: \[{x^2} \vdots 4;\,\,\,\,2{\rm{x}}yz \vdots 4 \Rightarrow {y^2} + {z^2} \vdots 4\]  (*)

Nếu y lẻ \[ \Rightarrow \] \[{y^2}\] lẻ \[ \Rightarrow \] lẻ \[{z^2}\]\[ \Rightarrow \] \[z\] lẻ

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2k + 1 \Rightarrow {y^2} = 4{k^2} + 4k + 1\\z = 2m + 1 \Rightarrow {z^2} = 4{m^2} + 4m + 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k;m \in Z} \right)\]

\[ \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 4{k^2} + 4k + 4{m^2} + 4m + 2\]

\[ \Rightarrow {y^2} + {z^2}\] chia 4 dư 2 (không thỏa mãn(*))

Do đó y chẵn và z chẵn \[ \Rightarrow y \vdots 2;\,\,\,z \vdots 2\]

\[ \Rightarrow xyz \vdots 8\,\,\,(1)\]

Giả sử cả 3 số x, y, z đều không chia hết cho 3 vì x; y; z chẵn nên \[{x^2};{y^2};{z^2} \equiv 1(mo{\rm{d}}\,{\rm{3)}}\]

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \vdots 3\]

Do đó \[2xyz \vdots 3 \Rightarrow xyz \vdots 3\]  (mâu thuẫn với giả thiết x, y, z đều không chia hết cho 3)

Nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 hay \[xyz \vdots 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\]

Từ (1) và (2) suy ra: \[xyz \vdots 24\]

Vậy \[xyz \vdots 24\].

b) Đặt \[A = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2a + 2b\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}{\left( {a + b + c + 1} \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} + 2\left( {a + b + c} \right) + 1 > A\\{\left( {a + b + c - 1} \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {a + b + c} \right) + 1 < A\end{array}\]

Nên \[{\left( {a + b + c - 1} \right)^2} < A < {\left( {a + b + c + 1} \right)^2}\]

Mà A chính phương nên \[A = {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

\[ \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2{\rm{a}} + 2b = {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 2{\rm{a}} = 2b \Leftrightarrow a = b\]

Vậy tất cả các bộ (a; b; c) cần tìm là (k; k; m) với k, m nguyên dương bất kì.

a)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

\[\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) \ge 2\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} \] \[ \Rightarrow \sqrt {ab + a + b + 1}  \le \frac{{a + b + 2}}{2}\]

\[ \Rightarrow 6 = \sqrt {ab + a + b + 1}  + c \le \frac{{a + b + 2}}{2} + c\]

\[ \Rightarrow a + b + 2 + 2c \ge 12\]

Suy ra \[a + b + 2c \ge 10\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\sqrt {a + 1}  = \sqrt {b + 1}  \Leftrightarrow a = b\]

Vậy \[a + b + 2c \ge 10\].

b) Ta có:

\[\frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \frac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \frac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} - 2 + \frac{{2b + 1}}{{b + 1}} - 2 + \frac{{2c + 2}}{{c + 2}} - 2 \ge  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{a + 1}} + \frac{{ - 1}}{{b + 1}} + \frac{{ - 2}}{{c + 2}} \ge  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{2}{{c + 2}} \le 1\end{array}\]

Ta có: \[\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{2}{{c + 2}} \ge \frac{2}{{\sqrt {(a + 1)(b + 1)} }} + \frac{2}{{c + 2}} \ge \frac{{{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\sqrt {(a + 1)(b + 1)}  + c + 2}}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{2}{{c + 2}} \ge \frac{8}{{\frac{{a + b + 2}}{2} + c + 2}} = \frac{{16}}{{a + b + 2c + 6}} \ge \frac{{16}}{{10 + 6}} = 1\,\,\](đpcm)

Vậy \[\frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \frac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \frac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\].

a) Ta sẽ chỉ ra một cách xóa để số còn lại trên bảng là 2021

Lần 1: Xóa 1; 3 và thay bởi số 2

Lần 2: Xóa 2; 2 và thay bởi số 2

Lần 3: Xóa 2; 4 và thay bởi số 3

…..
Lần k: Xóa \[k - 1\]; \[k + 1\] và thay bởi số k.

…..
Lần 2020: Xóa 2019;  2021 và thay bởi số 2020.

Lần 2021: Xóa 2021;  2022 và thay bởi số 2021.

Lúc này trên bảng chỉ còn lại số 2021.

b) Ta cũng chỉ ra được một cách xóa để số còn lại trên bảng là 2006.

Chỉ cần chia dãy các số 1; 2; 3; 4; …, 2020;  2021; 2022 thành hai phần (hai dãy con) như
sau:
Dãy 1: 1; 2; 3; 4; …., 2005; 2006

Dãy 2: 2007; 2008; ….; 2021; 2022.

Bằng thuật toán như phần a với dãy 1 thì sau 2004 bước ta còn lại 2 số 2004, 2006
Bằng thuật toán như phần a với dãy 2 nhưng thực hiện ngược lại từ cuối dãy về đầu dãy
thì sau 15 bước ta còn lại 1 số 2008.

Nên sau 2019 bước sẽ còn lại 3 số: 2004; 2006; 2008.

Và sau 2 bước nữa ta thu được số 2006 trên bảng.

Vậy số còn lại trên bảng có thể là số 2006.

Nhận xét: Bằng quy nạp theo n, ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát sau: Cho
các số trên bảng là 1; 2; 3; 4;…;\[n - 1\]; n. Khi đó ta luôn có thể có cách thực hiện việc thay số.để thu được một số k bất kì từ 2 đến \[n - 1\].