Thầy Quyết viết các số nguyên 1, 2, 3,…., 2021, 2002 lên bảng. Thầy Quyết thực hiện việc thay số như sau: Mỗi lần thay số, thầy chọn ra hai số bất kì trên bảng, xóa hai số này đi và viết lên bảng số trung bình cộng của hai số vừa xóa. Sau 2021 lần thay số như vậy, trên bảng còn lại duy nhất một số.

a) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2021.

b) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2006.

a) Vì \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz\] nên \[2xyz\] chẵn, nên tồn tại ít nhất 1 số chẵn, giả sử là x chẵn.

Khi đó: \[{x^2} \vdots 4;\,\,\,\,2{\rm{x}}yz \vdots 4 \Rightarrow {y^2} + {z^2} \vdots 4\]  (*)

Nếu y lẻ \[ \Rightarrow \] \[{y^2}\] lẻ \[ \Rightarrow \] lẻ \[{z^2}\]\[ \Rightarrow \] \[z\] lẻ

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2k + 1 \Rightarrow {y^2} = 4{k^2} + 4k + 1\\z = 2m + 1 \Rightarrow {z^2} = 4{m^2} + 4m + 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k;m \in Z} \right)\]

\[ \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 4{k^2} + 4k + 4{m^2} + 4m + 2\]

\[ \Rightarrow {y^2} + {z^2}\] chia 4 dư 2 (không thỏa mãn(*))

Do đó y chẵn và z chẵn \[ \Rightarrow y \vdots 2;\,\,\,z \vdots 2\]

\[ \Rightarrow xyz \vdots 8\,\,\,(1)\]

Giả sử cả 3 số x, y, z đều không chia hết cho 3 vì x; y; z chẵn nên \[{x^2};{y^2};{z^2} \equiv 1(mo{\rm{d}}\,{\rm{3)}}\]

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \vdots 3\]

Do đó \[2xyz \vdots 3 \Rightarrow xyz \vdots 3\]  (mâu thuẫn với giả thiết x, y, z đều không chia hết cho 3)

Nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 hay \[xyz \vdots 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\]

Từ (1) và (2) suy ra: \[xyz \vdots 24\]

Vậy \[xyz \vdots 24\].

b) Đặt \[A = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2a + 2b\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}{\left( {a + b + c + 1} \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} + 2\left( {a + b + c} \right) + 1 > A\\{\left( {a + b + c - 1} \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {a + b + c} \right) + 1 < A\end{array}\]

Nên \[{\left( {a + b + c - 1} \right)^2} < A < {\left( {a + b + c + 1} \right)^2}\]

Mà A chính phương nên \[A = {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

\[ \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2{\rm{a}} + 2b = {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 2{\rm{a}} = 2b \Leftrightarrow a = b\]

Vậy tất cả các bộ (a; b; c) cần tìm là (k; k; m) với k, m nguyên dương bất kì.

a) Giải phương trình \[4{x^2} - x - 3 = 2\sqrt {x + 2} \]         (ĐKXĐ: \[x \ge  - 2\])

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\[\begin{array}{l}{\left( {4{x^2} - x - 3} \right)^2} = 4\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 16{x^4} + {x^2} + 9 - 8{x^3} + 6x - 24{x^2} = 4x + 8\\ \Leftrightarrow 16{x^4} - 8{x^3} - 23{x^2} + 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {16{x^4} + 16{x^3}} \right) - \left( {24{x^3} + 24{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 16{x^3}\left( {x + 1} \right) - 24{x^2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + {1^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {16{x^3} - 24{x^2} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {16{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {20{x^2} - 5x} \right) - \left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {4{x^2}\left( {4x - 1} \right) - 5x\left( {4x - 1} \right) - \left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 5x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\4x - 1 = 0\\4{x^2} - 5x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{1}{4}\\4{x^2} - 5x - 1 = 0\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\]

Giải (*):\[\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.4.\left( { - 1} \right) = 41\]

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {41} }}{8}\\x = \frac{{5 - \sqrt {41} }}{8}\end{array} \right.\]

Thử lại vào phương trình đã cho ta được tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - 1;\frac{{5 + \sqrt {41} }}{8}} \right\}\].

b) Giải phương trình: \[{x^2} + \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 5\]     (ĐKXĐ: \[x \ne  - 2\])

\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} + \frac{{4{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{2x}}{{x + 2}}} \right)^2} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right)^2} + \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,(1)\]

Đặt \[t = \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}\], phương trình (1) trở thành: \[{t^2} + 4t - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,(2)\]

Vì \[1 + 4 + ( - 5) = 0\] nên phương trình (2) có 2 nghiệm \[{t_1} = 1;\,\,{t_2} =  - 5\]

Với \[{t_1} = 1\] ta có:

\[\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\,\,\,\,\,(3)\]

Vì \[1 - ( - 1) + ( - 2) = 0\] nên phương trình (3) có 2 nghiệm \[{x_1} =  - 1\,\,(tm);\,\,{x_2} = 2\,\,(tm)\]

Với \[{t_2} =  - 5\] ta có:

 \[\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} =  - 5 \Leftrightarrow {x^2} + 5{\rm{x}} + 10 = 0\] (Vô lí vì \[{x^2} + 5x + 10 = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\,\,\,\,\forall x \in R\])

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[S = \left\{ { - 1;2} \right\}\]

c) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{x}}^2} + {y^2} + x + y = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Ta có: \[(2) \Leftrightarrow (2{x^2} - 2xy) - (xy - {y^2}) + (x - y) + (2x - y) + 1 = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x(x - y) - y(x - y) + (x - y) + (2x - y) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)(2x - y) + (x - y) + (2x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)(2x - y + 1) + (2x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (2x - y + 1)(x - y + 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\y = x + 1\end{array} \right.\end{array}\]

Thay \[y = 2x + 1\] vào (1) ta được:

\[{x^2} + {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8 \Leftrightarrow 5{x^2} + 7x - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\]

\[\Delta  = {7^2} - 4.5.\left( { - 6} \right) = 169\]

Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 7 + \sqrt {169} }}{{2.5}} = \frac{3}{5}\\x = \frac{{ - 7 - \sqrt {169} }}{{2.5}} =  - 2\end{array} \right.\]

Với \[x = \frac{3}{5} \Rightarrow y = 2.\frac{3}{5} + 1 = \frac{{11}}{5}\]

Với \[x =  - 2 \Rightarrow y = 2.\left( { - 2} \right) + 1 =  - 3\]

Thay \[y = x + 1\] vào (1) ta được: \[{x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + x + x + 1 = 8\] \[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 6 = 0\,\,\,\,(4)\]

Vì \[2 + 4 + \left( { - 6} \right) = 0\]nên phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt: \[x = 1;x =  - 3\]

Với \[x = 1 \Rightarrow y = 2\]

Với \[x =  - 3 \Rightarrow y =  - 2\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \[\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right)} \right\}\].