Cho ba số thực dương \(x,y,z\)thỏa mãn \(xy + yz + zx = xyz\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(H = \frac{{{x^2}}}{{9z + z{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{9x + x{y^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{9y

+ y{z^2}}}\).

a) Ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác ABC có: BE và CF là 2 đường cao cắt nhau tại H \( \Rightarrow \)H là trực tâm tam giác ABC \( \Rightarrow AH \bot BC\)tại D.

Ta có tứ giác BCEF nội tiếp (O) \( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {OCE}\)(góc ngoài bằng góc đối trong).

Xét tứ giác ACDF có:

\(\widehat {ADC} = 90^\circ \)(cmt)

\(\widehat {AFC} = 90^\circ \)(cmt)

\( \Rightarrow \)tứ giác ACDF nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BFD} = \widehat {OCE}\)(góc ngoài bằng góc đối trong).

Xét tam giác BEC vuông tại E có EO là trung tuyến

\( \Rightarrow EO = \frac{1}{2}BC = CO = BO\)(định lý đường trung tuyến của tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {OCE} = \widehat {OEC} \Rightarrow \widehat {COE} = 180^\circ - 2\widehat {OCE}\)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AFE} = \widehat {OCE}\left( {cmt} \right)\\\widehat {BFD} = \widehat {OCE}\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\]\( \Rightarrow \widehat {COE} = 180^\circ - \widehat {AFE} - \widehat {BFD} = \widehat {EFD}\)

Xét tứ giác ODFE có \[\widehat {COE} = \widehat {EFD}\left( {cmt} \right)\]

Mà hai góc ở vị trí góc ngoài và góc đối trong \( \Rightarrow \)tứ giác ODFE nội tiếp.

b) Xét tam giác AEH vuông tại E có EI là trung tuyến

\( \Rightarrow EI = \frac{1}{2}AH = AI = HI\)(định lý đường trung tuyến của tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {IAE} = \widehat {IEA}\), có \(\widehat {OCE} = \widehat {OEC}\left( {cmt} \right)\)và \(\widehat {IAE}\)phụ \(\widehat {OCE}\)\( \Rightarrow \widehat {IEA}\) phụ \(\widehat {OEC}\)\( \Rightarrow \widehat {OEI} = 90^\circ \)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {OFI} = 90^\circ \).

Xét tứ giác OEIF có \[\widehat {OEI} + \widehat {OFI} = 180^\circ \]

Mà hai góc ở vị trí đối nhau \( \Rightarrow \)tứ giác OEIF nội tiếp.

Ta có tứ giác ODFE nội tiếp (cmt), tứ giác OEIF nội tiếp (cmt) \[ \Rightarrow \] 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc đường tròn đường kính ID.

Xét \(\Delta IEK\)và \[\Delta IDE\]có:

\( \Rightarrow \frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IK}}{{IE}} \Leftrightarrow I{E^2} = ID.IK\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta IEM\)và \[\Delta ICE\]có:

\( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IC}} = \frac{{IM}}{{IE}} \Leftrightarrow I{E^2} = IC.IM\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IK.ID = IC.IM \Rightarrow \frac{{IK}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{ID}}\)

Xét \(\Delta IMK\)và \[\Delta IDC\]có:

   mà \(\widehat {IDC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {IMK} = 90^\circ \Rightarrow CI \bot KM\).

a) Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{8 + x\left( {1 + \sqrt {x - 2\sqrt x  + 1} } \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2\sqrt x  + 4} \right)}} + \frac{{x - 3\sqrt x }}{{2\left( {x - \sqrt x  - 6} \right)}}\) (với \(x > 1,x \ne 4,x \ne 9\))

Với \(x > 1,x \ne 4,x \ne 9\)ta có:

\[\begin{array}{l}A = \frac{{8 + x\left( {1 + \sqrt {x - 2\sqrt x  + 1} } \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2\sqrt x  + 4} \right)}} + \frac{{x - 3\sqrt x }}{{2\left( {x - \sqrt x  - 6} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{8 + x\left( {1 + \sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}} } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x  + 4} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{8 + x\left( {1 + \left| {\sqrt x  - 1} \right|} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x\sqrt x  + 8} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{8 + x\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x\sqrt x  + 8} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 4}}{{2\left( {x - 4} \right)}}\end{array}\]

b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố \(p,q,r\)thỏa mãn \(pq = r + 1\) và \(2\left( {{p^2} + {q^2}} \right) = {r^2} + 1\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = p + q\\P = p.q\end{array} \right.\)ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}P = r + 1\\2\left( {{S^2} - 2P} \right) = {r^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = r + 1\\2\left( {{S^2} - 2P} \right) = {r^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = r + 1\\{S^2} = \frac{{{r^2} + 4r + 5}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = r + 1\\S = \sqrt {\frac{{{r^2} + 4r + 5}}{2}} \end{array} \right.\)

Vì \(p,q,r\) là ba số nguyên tố nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}r = 5\\S = 5\\P = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 5\\p + q = 5\\p.q = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 5\\q = 5 - p\\p.\left( {5 - p} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 5\\q = 5 - p\\{p^2} - 5p + 6 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 5\\p = 2\\q = 3\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}r = 5\\p = 3\\q = 2\end{array} \right.\).