Cho ba số thực dương \(x,y,z\)thỏa mãn \(xy + yz + zx = xyz\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(H = \frac{{{x^2}}}{{9z + z{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{9x + x{y^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{9y

+ y{z^2}}}\).

a) Ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác ABC có: BE và CF là 2 đường cao cắt nhau tại H \( \Rightarrow \)H là trực tâm tam giác ABC \( \Rightarrow AH \bot BC\)tại D.

Ta có tứ giác BCEF nội tiếp (O) \( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {OCE}\)(góc ngoài bằng góc đối trong).

Xét tứ giác ACDF có:

\(\widehat {ADC} = 90^\circ \)(cmt)

\(\widehat {AFC} = 90^\circ \)(cmt)

\( \Rightarrow \)tứ giác ACDF nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BFD} = \widehat {OCE}\)(góc ngoài bằng góc đối trong).

Xét tam giác BEC vuông tại E có EO là trung tuyến

\( \Rightarrow EO = \frac{1}{2}BC = CO = BO\)(định lý đường trung tuyến của tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {OCE} = \widehat {OEC} \Rightarrow \widehat {COE} = 180^\circ - 2\widehat {OCE}\)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AFE} = \widehat {OCE}\left( {cmt} \right)\\\widehat {BFD} = \widehat {OCE}\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\]\( \Rightarrow \widehat {COE} = 180^\circ - \widehat {AFE} - \widehat {BFD} = \widehat {EFD}\)

Xét tứ giác ODFE có \[\widehat {COE} = \widehat {EFD}\left( {cmt} \right)\]

Mà hai góc ở vị trí góc ngoài và góc đối trong \( \Rightarrow \)tứ giác ODFE nội tiếp.

b) Xét tam giác AEH vuông tại E có EI là trung tuyến

\( \Rightarrow EI = \frac{1}{2}AH = AI = HI\)(định lý đường trung tuyến của tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {IAE} = \widehat {IEA}\), có \(\widehat {OCE} = \widehat {OEC}\left( {cmt} \right)\)và \(\widehat {IAE}\)phụ \(\widehat {OCE}\)\( \Rightarrow \widehat {IEA}\) phụ \(\widehat {OEC}\)\( \Rightarrow \widehat {OEI} = 90^\circ \)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {OFI} = 90^\circ \).

Xét tứ giác OEIF có \[\widehat {OEI} + \widehat {OFI} = 180^\circ \]

Mà hai góc ở vị trí đối nhau \( \Rightarrow \)tứ giác OEIF nội tiếp.

Ta có tứ giác ODFE nội tiếp (cmt), tứ giác OEIF nội tiếp (cmt) \[ \Rightarrow \] 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc đường tròn đường kính ID.

Xét \(\Delta IEK\)và \[\Delta IDE\]có:

\( \Rightarrow \frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IK}}{{IE}} \Leftrightarrow I{E^2} = ID.IK\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta IEM\)và \[\Delta ICE\]có:

\( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IC}} = \frac{{IM}}{{IE}} \Leftrightarrow I{E^2} = IC.IM\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IK.ID = IC.IM \Rightarrow \frac{{IK}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{ID}}\)

Xét \(\Delta IMK\)và \[\Delta IDC\]có:

   mà \(\widehat {IDC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {IMK} = 90^\circ \Rightarrow CI \bot KM\).

a) Ta có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)(ABCD là hình vuông)

    \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) (H là hình chiếu của C trên AE)

Xét tứ giác ADCH có: \(\widehat {ADC} + \widehat {AHC} = 180^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác ADCH nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DHC} = 45^\circ \)(cùng chắn cung CD) mà \(\widehat {AHD} + \widehat {DHC} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \)\(\widehat {AHD} = 45^\circ \)

\( \Rightarrow \) HD là tia phân giác của góc AHC.

b) Xét tứ giác OEHC có: \(\widehat {EOC} + \widehat {EHC} = 180^\circ \).

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow \)Tứ giác OEHC nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {AEO} = \widehat {ACH}\)(góc ngoài bằng góc đối trong)                                                       (1) 

Tứ giác ADCH nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ADF} = \widehat {ACH}\)(cùng chắn cung AH)                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ADF}\)

Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta FAD\)có:\(\)\(\)

\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{DE}} \Leftrightarrow AF.DE = A{D^2}\)

Ta có: \({S_{AEFD}} = \frac{1}{2}AF.DE = \frac{1}{2}A{D^2} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\).