Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{8\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - x - 3}}{{x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right)\) (với \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 1\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{8\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - x - 3}}{{x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right)\) (với \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 1\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)Ta có: \(P = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x - x - 3 - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \,\frac{{ - 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{ - x - 4}} = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}}.\)
Vậy \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}}.\)
b)Vì \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 1\) nên \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} \ge 0.\)
Ta có: \(1 - P = 1 - \frac{{4\sqrt x }}{{x + 4}} = \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{x + 4}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{x + 4}} \ge 0\) suy ra \(P \le 1.\)
Do đó \(0 \le P \le 1\) mà \(P \in Z\) nên \(P = 0\) hoặc \(P = 1.\)
Với \(P = 0\) thì \(x = 0\) (thỏa mãn).
Với \(P = 1\) thì \(\sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = 0;\,\,x = 4\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt \({n^2} - 2n - 7 = {a^3};\,\,{n^2} - 2n + 12 = {b^3}\) (với \(a,{\rm{ }}b \in {\mathbb{N}^*}\))
Dễ thấy \(a < b\)
Ta có \({b^3} - {a^3} = \left( {{n^2} - 2n + 12} \right) - \left( {{n^2} - 2n - 7} \right) = 19\)
\( \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {{b^2} + ab + {a^2}} \right) = 19\)
Vì \(a,{\rm{ }}b \in {\mathbb{N}^*}\), \(b > a\), \({b^2} + ab + {a^2} > b - a\) và \(19\) là số nguyên tố nên
\(\left\{ \begin{array}{l}b - a = 1\\{b^2} + ab + {a^2} = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = - 2\end{array} \right.\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {n^2} - 2n - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 3{\rm{ }}(L)\\n = 5{\rm{ }}(TM)\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 5\)
Vậy \(n = 5\) là giá trị cần tìm.
Lời giải
Hình vẽ
a)Tứ giác \(BKDH\) nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {KBD} = \widehat {KHD}{\rm{ }}\left( 1 \right).\]
Tứ giác \(ABDC\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {KBD} = \widehat {ACD}{\rm{ }}\left( 2 \right)\) (cùng bù với \(\widehat {ABD}\))
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {KHD} = \widehat {ICD}{\rm{ }}\left( 3 \right).\)
Lại có tứ giác \(CIHD\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {IHD} + \widehat {ICD} = {180^0}{\rm{ }}\left( 4 \right).\)
Từ \(\left( 3 \right),{\kern 1pt} \;\left( 4 \right)\) suy ra \(\widehat {IHD} + \widehat {DHK} = {180^0}\)
\( \Rightarrow K,\,I,\,H\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow \frac{{CH}}{{HD}} = \frac{{AB}}{{KD}} + \frac{{BK}}{{KD}}\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\)
b)\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{DH}} = \frac{{AC}}{{DI}} - \frac{{IC}}{{DI}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\)
Từ \(\left( 5 \right),{\rm{ }}\left( 6 \right)\) và \(\left( 7 \right)\) suy ra \(\frac{{CH}}{{HD}} + \frac{{BH}}{{DH}} = \frac{{AB}}{{KD}} + \frac{{AC}}{{DI}}.\)
Vậy \(\frac{{AC}}{{DI}} + \frac{{AB}}{{DK}} = \frac{{BC}}{{DH}} \cdot \)
c)Đường thẳng \(AP\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(Q\) và đường thẳng \(DH\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(S.\)
Ta có \(\widehat {SAC} = \widehat {SDC}\) (cùng chắn )
Tứ giác \(CDHI\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {HDC} = \widehat {HIA} \Rightarrow \widehat {SAC} = \widehat {HIA}\)
Suy ra đường thẳng \[AS\] song song với đường thẳng \[HK.\]
Ta có \(AQ\)//\(DS\) (cùng vuông góc với \(BC\))
\( \Rightarrow AQDS\) là hình thang, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow AQDS\) là hình thang cân \( \Rightarrow \widehat {QDS} = \widehat {ASD}.\)
Qua \(P\) vẽ \[PR\]//\[AS \Rightarrow \widehat {ASD} = \widehat {PRD}\] (đồng vị)
Suy ra \(\widehat {PRD} = \widehat {QDR} \Rightarrow PQDR\) là hình thang cân
Ta thấy \(BC \bot PQ\) tại trung điểm \(PQ\), suy ra \(BC\) là trục đối xứng của hình thang cân \( \Rightarrow HD = HR.\)
Xét \(\Delta DPR\) có \(HD = HR\) và \[HK\]//\[PR\]
\( \Rightarrow HK\) đi qua trung điểm của \(DP.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập