Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho hai số \({n^2} - 2n - 7\) và \({n^2} - 2n + 12\) đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.

a)Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right):\)

\({x^2} = 2mx - m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta thấy \(\Delta ' = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\), với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Do đó đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Ta có \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1} \cdot {x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

Ta có \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > \sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} > 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 3 > 0.\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}.\)

Vậy \(m \ne \frac{1}{2}\) thì \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > \sqrt 3 .\)

b)Điều kiện: \(x \ge  - \frac{1}{5}.\)

Ta có: \(8\sqrt {5x + 1}  + 6\sqrt {2x + 3}  = 7x + 29.\)

\( \Leftrightarrow \left( {5x + 1 - 8\sqrt {5x + 1}  + 16} \right) + \left( {2x + 3 - 6\sqrt {2x + 3}  + 9} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {5x + 1}  - 4} \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x + 3}  - 3} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {5x + 1}  - 4 = 0\\\sqrt {2x + 3}  - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 3.\)

Do \(x,{\rm{ }}y \in \left[ {5;7} \right] \Rightarrow \left| {x - y} \right| \le 2 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \le 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \le 4 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 4\left( {xy + 1} \right) \Leftrightarrow x + y \le 2\sqrt {xy + 1} \)

Chứng minh tương tự ta có:

                                      \(y + z \le 2\sqrt {yz + 1} ;\)\(z + x \le 2\sqrt {zx + 1} \)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có

\[2\left( {x + y + z} \right) \le 2\left( {\sqrt {xy + 1} + \sqrt {yz + 1} + \sqrt {zx} } \right)\]

\( \Leftrightarrow \sqrt {xy + 1} + \sqrt {yz + 1} + \sqrt {zx + 1} \ge x + y + z\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = 2\,\,\,\,\,\,\,\\\left| {y - z} \right| = 2\,\,\,\,\,\,\\\left| {z - x} \right| = 2\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.\left( 1 \right)\)

Vì \(x \ne y \ne z\) nên giả sử \(x > y > z.\)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\y - z = 2\\x - z = 2\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - z = 4\\x - z = 2\end{array} \right.\) (vô nghiệm)

Vậy \(\sqrt {xy + 1} + \sqrt {yz + 1} + \sqrt {zx + 1} > x + y + z.\)