Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao \(60m\) so với mặt cầu và cách nhau \(360m\). Dây cáp có dạng một đường parabol và được treo trên các đỉnh tháp (hình vẽ). Độ cao của dây cáp tại vị trí \(C\) (cách tâm \(O\) của mặt cầu \(90m\) theo phương ngang) so với mặt cầu là bao nhiêu mét?

Chọn C

a) Vì các điểm \(A,B,C,D\) cùng nằm trên đường tròn nên tứ giác \(CADB\)  là tứ giác nội tiếp. ĐÚNG

b) Vì \(B\)nằm trên đường tròn nên \(OB = 3cm\). ĐÚNG

c) Tam giác \(MAO\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AC\)(do \(MC = 3 = \frac{1}{2}MO\)) nên \(AC = \frac{1}{2}MO = 3cm\).

Suy ra tam giác \(AOC\) đều. do đó \(\widehat {AOC} = 60^\circ \). Suy ra \(\widehat {AOB} = 120^\circ \) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra \[\widehat {ADB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = 60^\circ \]. SAI

d)  Tam giác \(ADC\) vuông tại \(A\) (góc nội tiếp \(A\) chắn nửa đường tròn). Nên \(DC = CD.\cos \widehat {ADC} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 cm\).

Tam giác \(ABD\) cân tại \[{\rm{D}}\] có \[\widehat D = 60^\circ \] nên tam giác đều. Do đó đường chéo \(AB = AD = 3\sqrt 3 cm\)

Diện tích tứ giác \(MAOB\) là: \(\frac{1}{2}.3\sqrt 3 .6 = 9\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích hình quạt \(OAB\)là: \(\frac{{\pi .9.120^\circ }}{{360^\circ }} = 3\pi \) \((c{m^2})\)

Vậy diện tích của hình giới hạn bới hai tiếp tuyến \(MA,MB\) và cung nhỏ \(AB\) (phần tô đạm trong hình vẽ) bằng \(9\sqrt 3  - 3\pi  = 3\left( {3\sqrt 3  - \pi } \right)\left( {c{m^2}} \right)\) ĐÚNG