Tìm m để phương trình  \({x^2} - 2x - m = 0\)  có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \({x_1}^2 - {x_2}^2 = 4m + 4\)

a)     Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp

Xét \(\) \(\Delta \)CHA  vuông tại H

Nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Xét \(\) \(\Delta \)CKA  vuông tại K

Nên A, K, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Suy ra A, C, K, H thuộc đường tròn đường kính AC

Hay tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn dường kính AC

Chứng minh hai góc HCK và BDC bằng nhau, IE// CD

Vì tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {HAK} = \widehat {HCK}\) ( góc nội tiếp chắn cung HK)

Xét (O) có  \(\widehat {DCB} = \widehat {DAB}\) ( góc nội tiếp chắn cung BD)

Nên \(\widehat {BCD} = \widehat {HCK}\)

Gọi M là giao điểm của CE và AB

Xét tam giác ACM  có AH và AK là 2 đường cao cắt nhau tại I nên I la trực tâm tam giác ACM nên EI là đường cao thứ ba.

MI vuông góc với AC.

Lại có \(\widehat {ACB} = {90^0}\) ( góc nội tiếp chắn nưả đường tròn (O))

CB vuông góc  với AC

MI // CB

Xét tam giác CHB có MI//CB nên \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\)  ( đl Talet)

Ta có  CM\( \bot \) AD, DB\( \bot \) AD nên CM//BD

Nên EM//BD

Xét tam giác DHB có EM//DB nên \(\frac{{HM}}{{HB}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) ( đl Talet)

Suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) 

Xét tam giác CHD có \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) 

Nên IE//CD

Gọi số sản phẩm cơ sở I làm trong tháng thứ nhất là \(x\) \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\)

Số sản phẩm cơ sở II làm trong tháng thứ hai là \(y\)

Tháng thứ hai cơ sở I sản xuất là: \(x + 0.09x = 1,09x\)

Tháng thứ hai cơ sở IIsản xuất là: \(y - 0,05y = 0,95y\)

Theo bài ra ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 9000\\1,09x + 0,95y = 9250\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5000\\y = 4000\end{array} \right.(tmdk)\)

Vậy tháng thứ nhất  cơ sở I làm được 5000sp, cơ sở II làm đc 4000sp