Một nha máy có hai cơ sở I và II cùng sản xuất ra một loại sản phẩm. Tháng thứ nhất cả hai cơ sở sản xuất được 9000 sẳn phẩm. Sang tháng thứ hai do công tác chuẩn bị tốt nên số sản phẩm cơ sở I sản xuất ra tăng 9% so với tháng thứ nhất, còn cơ sở II chuẩn bị chưa tốt nên số sản phẩm sản xuất ra giảm 5% so với tháng thứ nhất. Biết rằng tổng sản phẩm của hai cơ sở sản xuất được trong tháng thứ hai là 9250. Tính số sản phẩm của mỗi cơ sở sản xuất được trong tháng thứ nhất

a)     Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp

Xét \(\) \(\Delta \)CHA  vuông tại H

Nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Xét \(\) \(\Delta \)CKA  vuông tại K

Nên A, K, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Suy ra A, C, K, H thuộc đường tròn đường kính AC

Hay tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn dường kính AC

Chứng minh hai góc HCK và BDC bằng nhau, IE// CD

Vì tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {HAK} = \widehat {HCK}\) ( góc nội tiếp chắn cung HK)

Xét (O) có  \(\widehat {DCB} = \widehat {DAB}\) ( góc nội tiếp chắn cung BD)

Nên \(\widehat {BCD} = \widehat {HCK}\)

Gọi M là giao điểm của CE và AB

Xét tam giác ACM  có AH và AK là 2 đường cao cắt nhau tại I nên I la trực tâm tam giác ACM nên EI là đường cao thứ ba.

MI vuông góc với AC.

Lại có \(\widehat {ACB} = {90^0}\) ( góc nội tiếp chắn nưả đường tròn (O))

CB vuông góc  với AC

MI // CB

Xét tam giác CHB có MI//CB nên \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\)  ( đl Talet)

Ta có  CM\( \bot \) AD, DB\( \bot \) AD nên CM//BD

Nên EM//BD

Xét tam giác DHB có EM//DB nên \(\frac{{HM}}{{HB}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) ( đl Talet)

Suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) 

Xét tam giác CHD có \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) 

Nên IE//CD