Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) của tam giác \(ABC\) (với \(D \in BC,\,\,E \in AC,\,\,F \in AB\,)\) cắt nhau tại điểm \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\).

c) Gọi \(K\) là điểm đối xứng với điểm \(O\) qua đường thå̀ng \(BC\). Chứng minh rằng: \(HK \bot EF\).

Đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - m + 3\) và \(\left( P \right):y = {x^2}\) cắt nhau thì \({x^2} = 2x - m + 3\) hay \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\).

Xét \({\rm{\Delta '}} = {\left( {\frac{{ - 2}}{2}} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) = 1 - m + 3 = 4 - m\).

Để đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right)\) cắt đồ thị \(\left( {\rm{P}} \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt, suy ra \({\rm{\Delta '}} = 4 - m > 0\) nên \(m < 4\) (1) Áp dụng định lí Viète, ta có: \({x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{1} = m - 3\)

Để đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right)\) cắt đồ thị \(\left( {\rm{P}} \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) trái dấu hay \({x_1}{x_2} = m - 3 < 0\).

Gọi số tiền bác Bình gửi vào ngân hàng và đầu tư vào nhà hàng lần lượt là \(x\) và \(y\) (triệu đồng), \((0 < x,y < 800)\).

Vì bác Bình chia 800 triệu đồng để gửi vào ngân hàng và đầu tư vào nhà hàng nên ta có phương trinh: \(x + y = 800\) (1)

Vì lãi suất của ngân hàng là \(6{\rm{\% }}/\) nãm nên số tiền lãi bác Bình nhận được từ việc gửi tiền vào ngân hàng sau một năm là: \(x.6{\rm{\% }} = 0,06x\) (triệu đồng)

Vì lãi kinh doanh là \(10{\rm{\% }}/\) năm nên số tiền lãi bác Bình nhận được từ việc đầu tư vào nhà hàng là: \(y.10{\rm{\% }} = 0.1y\) (triệu đồng)

Vì sau một năm bác Bình nhận được tiền lãi từ hai khoản trên là 66 triệu đồng nên ta có phương trinh: \(0,06x + 0,1y = 66\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,06x + 0,1y = 66}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,06x + 0,1y = 66}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{0,6x + y = 660}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,4x = 140}\\{y = 800 - x}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 350}\\{y = 800 - 350}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 350}\\{y = 450}\end{array}\left( {TM} \right)} \right.\)