Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí \(I\left( {x;y} \right)\) và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {1;3} \right)\) nhận được cùng một thời điểm. Tính \(x + y\).

Lời giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;3} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AC}  = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}}  = \sqrt {26} \).

c) Gọi \(C\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {x - 1;y} \right)\).

Theo đề \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;5} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 1\\y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C\left( {0;5} \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

Do đó \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 2 = 0\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

Ta có \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \); \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{{13}}{2} = 6,5\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(R = 5\).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - a; - 1 - b} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\).

Vì đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x + 4y + 1 = 0\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = 25\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\9{k^2} + 16{k^2} = 25\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{k^2} = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\k =  \pm 1\end{array} \right.\].

Với \(k = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 5\end{array} \right.\); Với \(k =  - 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\).

Vì \(a < 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 5\end{array} \right.\). Suy ra \(\frac{a}{b} = 0,4\).

Trả lời: 0,4.