Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;0} \right),\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j ,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;5} \right)\).

Lời giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;3} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AC}  = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}}  = \sqrt {26} \).

c) Gọi \(C\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {x - 1;y} \right)\).

Theo đề \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;5} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 1\\y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C\left( {0;5} \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

Do đó \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 2 = 0\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

Ta có \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \); \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{{13}}{2} = 6,5\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.