Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\), trục hoành \(Ox\) và hai đưởng thẳng \(x = - 2,x = 2\) bằng

Gắn trục Ox như hình. Cắt khối giao của nón và trụ bởi 1 mặt phẳng vuông góc trục Ox tại x. Thiết diện là hình hợp bởi 2 hình viên phân của nón và trụ, có diện tích là S(x).

Xét tam giác OKC, có JA// KC, nên \[\frac{x}{4} = \frac{{JA}}{{KC}} = \frac{{JA}}{2} \Rightarrow JA = \frac{x}{2}\] là bán kính của đường tròn của hình nón tại vị trí x, tâm J.  Đường tròn của hình trụ tại vị trí x có tâm I, bán kính bằng 2.

Gọi M là giao điểm của hai đường tròn tâm I và tâm J.

Giả sử \[\widehat {{\rm{MIJ}}} = \alpha  \Rightarrow \widehat {{\rm{MIN}}} = 2\alpha ;\widehat {{\rm{MJI}}} = \beta  \Rightarrow \widehat {{\rm{MJN}}} = 2\beta \].

Xét đường tròn tâm I, có \[IM = IN = JI = 2\]Xét đường tròn tâm J, có \[JM = JA = \frac{x}{2}\].

Áp đụng định lí cosin vào tam giác IJM, ta tính được:

\[cos\alpha  = 1 - \frac{{{x^2}}}{{32}} \Rightarrow \alpha  = {\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}});cos\beta  = \frac{x}{8} \Rightarrow \beta  = {\rm{ar}}cos\frac{x}{8}\]

Suy ra diện tích viên phân của đường tròn tâm I: \[{S_1} = 2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}))\]

Diện tích viên phân của đường tròn tâm J: \[{S_2} = \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8})\]

Nên diện tích thiết diện:

\[S(x) = {S_1} + {S_2} = 2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}})) + \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8})\]

Vậy thể tích phần giao của trụ và nón:

\[V = \int\limits_0^4 {S(x)dx = \int\limits_0^4 {(2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}})) + \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8}))dx} }  = 7,02\]

(Theo Casio ta có kết quả trên)

Đáp số: 7,02.