Trên sân khấu ca nhạc, kỹ thuật viên thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị mét). Hai đèn follow tạo ra hai tia sáng lần lượt có phương trình là \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số) và \({d_2}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}\).

Tính góc giữa hai tia sáng \({d_1}\) và \({d_2}\) (làm tròn đến hàng phần chục của độ).

Gắn trục Ox như hình. Cắt khối giao của nón và trụ bởi 1 mặt phẳng vuông góc trục Ox tại x. Thiết diện là hình hợp bởi 2 hình viên phân của nón và trụ, có diện tích là S(x).

Xét tam giác OKC, có JA// KC, nên \[\frac{x}{4} = \frac{{JA}}{{KC}} = \frac{{JA}}{2} \Rightarrow JA = \frac{x}{2}\] là bán kính của đường tròn của hình nón tại vị trí x, tâm J.  Đường tròn của hình trụ tại vị trí x có tâm I, bán kính bằng 2.

Gọi M là giao điểm của hai đường tròn tâm I và tâm J.

Giả sử \[\widehat {{\rm{MIJ}}} = \alpha  \Rightarrow \widehat {{\rm{MIN}}} = 2\alpha ;\widehat {{\rm{MJI}}} = \beta  \Rightarrow \widehat {{\rm{MJN}}} = 2\beta \].

Xét đường tròn tâm I, có \[IM = IN = JI = 2\]Xét đường tròn tâm J, có \[JM = JA = \frac{x}{2}\].

Áp đụng định lí cosin vào tam giác IJM, ta tính được:

\[cos\alpha  = 1 - \frac{{{x^2}}}{{32}} \Rightarrow \alpha  = {\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}});cos\beta  = \frac{x}{8} \Rightarrow \beta  = {\rm{ar}}cos\frac{x}{8}\]

Suy ra diện tích viên phân của đường tròn tâm I: \[{S_1} = 2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}))\]

Diện tích viên phân của đường tròn tâm J: \[{S_2} = \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8})\]

Nên diện tích thiết diện:

\[S(x) = {S_1} + {S_2} = 2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}})) + \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8})\]

Vậy thể tích phần giao của trụ và nón:

\[V = \int\limits_0^4 {S(x)dx = \int\limits_0^4 {(2(2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}}) - \sin 2{\rm{ar}}cos(1 - \frac{{{x^2}}}{{32}})) + \frac{{{x^2}}}{8}(2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8} - \sin 2{\rm{ar}}cos\frac{x}{8}))dx} }  = 7,02\]

(Theo Casio ta có kết quả trên)

Đáp số: 7,02.