Hai đội cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu?

a) \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 7} \right) = {m^2} + 5m + 11 = {\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} > 0,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\) với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) \({x^2} - 4{m^2}x - 4m - 2 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = 4{m^4} + 4m + 2 = 2(2{m^4} + 2m + 1)\)

mà \(2{m^4} + 2m + 1 = 2\left( {{m^4} - {m^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{m^2} + m + \frac{1}{4}} \right) = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Dấu “=” xảy ra khi \({m^2} - \frac{1}{2} = 0\)và \(m + \frac{1}{2} = 0\) suy ra vô lý \( \Rightarrow \Delta ' > 0\forall m.\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

a) Ta có

\[\begin{array}{l}{x^2} + \left( {m - 5} \right)x - 3\left( {m - 2} \right) = 0\\{x^2} - 3x + \left( {m - 2} \right)x - 3\left( {m - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\begin{array}{l}x\left( {x - 3} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x + m - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[x = 3\] và \[x = 2 - m\]

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm \[x = 3\] với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau

Theo câu a) suy ra \[2 - m = 3 \Rightarrow m =  - 1\]

Ta cũng có thể xét \[\Delta  = {\left( {m - 5} \right)^2} + 4.3\left( {m - 2} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\]

Phương trình có nghiệm kép khi

\[\begin{array}{l}\Delta  = 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\m =  - 1\end{array}\]