Cho tam giác \(ABC\) vuông cân có \(AB = AC = 12\;{\rm{cm}}\). Điểm \(M\) chạy trên \(AB\). Tứ giác \(MNCP\) là hình bình hành có đỉnh \(N\) thuộc cạnh \(AC\) (như hình bên dưới). Hỏi khi \(M\)cách\(A\) bao nhiêu thì diện tích của hình bình hành bằng \(32\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

a) Với \[m = 2\], phương trình đã cho trở thành \[{x^2} - 1 = 0\] hay \[x =  \pm 1\]

b) Xét hai trường hợp

TH1: Với \[m = \frac{3}{2}\] phương trình đã cho trở thành: \[x - 1 = 0\] hay \[x = 1\]

TH2: Với \[m \ne \frac{3}{2}\] phương trình \[\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\] là một phương trình bậc hai và có \[\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + \left( {2m - 3} \right) = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\,\forall m \in \mathbb{R}\]

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[m \ne \frac{3}{2}\] và \[{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\]

\[m \ne \frac{3}{2}\] và \[m \ne 1\]

a) \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 7} \right) = {m^2} + 5m + 11 = {\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} > 0,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\) với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) \({x^2} - 4{m^2}x - 4m - 2 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = 4{m^4} + 4m + 2 = 2(2{m^4} + 2m + 1)\)

mà \(2{m^4} + 2m + 1 = 2\left( {{m^4} - {m^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{m^2} + m + \frac{1}{4}} \right) = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Dấu “=” xảy ra khi \({m^2} - \frac{1}{2} = 0\)và \(m + \frac{1}{2} = 0\) suy ra vô lý \( \Rightarrow \Delta ' > 0\forall m.\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.