Cho tam giác \(ABC\) vuông cân có \(AB = AC = 12\;{\rm{cm}}\). Điểm \(M\) chạy trên \(AB\). Tứ giác \(MNCP\) là hình bình hành có đỉnh \(N\) thuộc cạnh \(AC\) (như hình bên dưới). Hỏi khi \(M\)cách\(A\) bao nhiêu thì diện tích của hình bình hành bằng \(32\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

a) Với \[m = 2\], phương trình đã cho trở thành \[{x^2} - 1 = 0\] hay \[x =  \pm 1\]

b) Xét hai trường hợp

TH1: Với \[m = \frac{3}{2}\] phương trình đã cho trở thành: \[x - 1 = 0\] hay \[x = 1\]

TH2: Với \[m \ne \frac{3}{2}\] phương trình \[\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\] là một phương trình bậc hai và có \[\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + \left( {2m - 3} \right) = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\,\forall m \in \mathbb{R}\]

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[m \ne \frac{3}{2}\] và \[{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\]

\[m \ne \frac{3}{2}\] và \[m \ne 1\]

a) Gọi \(y = ax + b\) là phương

trình đường thẳng \(AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a.\left( { - 1} \right) + b = 1\\a.3 + b = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\)

suy ra phương trình đường thẳng \(AB\)\(\left( d \right):y = 2x + 3\).

Đường thẳng \(AB\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(I\left( {0;3} \right)\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{OAB}} = {S_{OAI}} + {S_{OBI}} = \frac{1}{2}AH.OI + \frac{1}{2}BK.OI\).

Ta có \(AH = 1;BK = 3,OI = 3\).

Suy ra \({S_{OAB}} = 6\) (đvdt).

b) Giả sử \(C\left( {c;{c^2}} \right)\) thuộc cung nhỏ \(\left( P \right)\) với \( - 1 < c < 3\).

Diện tích tam giác:\({S_{ABC}} = {S_{ABB'A'}} - {S_{ACC'A'}} - {S_{BCC'B'}}\).

Các tứ giác \(ABB'A',AA'C'C,CBB'C'\) đều là hình thang vuông nên ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{{1 + 9}}{2}.4 - \frac{{1 + {c^2}}}{2}.\left( {c + 1} \right) - \frac{{9 + {c^2}}}{2}.\left( {3 - c} \right) = 8 - 2{\left( {c - 1} \right)^2} \le 8\).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất bằng \(8\) (đvdt) khi \(C\left( {1;1} \right)\).