Một ca nô xuôi dòng từ bến sông \(A\) đến bến sông \(B\) cách nhau \(24\;{\rm{km}}\); cũng từ \(A\) về \(B\) một chiếc bè trôi với vận tốc dòng nước là \(4\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\). Khi đến \(B\) ca nô quay lại ngay và gặp bè tại điểm \(C\) cách \(A\) là \(8\;{\rm{km}}\). Tính vận tốc thực của ca nô.

Ta có 6 giờ 40 phút \( = 6\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ, \(x > 6\frac{2}{3}\) ).

Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong việc là \(x + 3\) (giờ).

Mỗi giờ công nhân thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Mỗi giờ công nhân thứ hai làm được \(\frac{1}{{x + 3}}\) (công việc).

Theo đầu bài, hai công nhân cùng làm thì hoàn thành công việc trong \(6\frac{2}{3}\) giờ. Nên mỗi giờ họ cùng làm được \(1:6\frac{2}{3} = \frac{3}{{20}}\) (công việc). Ta có phương trình:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{3}{{20}} \Leftrightarrow 3{x^2} - 31x - 60 = 0\).

Ta có \(\Delta  = {31^2} - 4.3.( - 60) = 1681 > 0\) nên phương trình có nghiệm là \({x_1} =  - \frac{5}{3}(\)loại\();{x_2} = 12\) (nhận).

Vậy thời gian công nhân thứ nhất làm xong công việc là 12 giờ. Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là 15 giờ.

a) Gọi \(y = ax + b\) là phương

trình đường thẳng \(AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a.\left( { - 1} \right) + b = 1\\a.3 + b = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\)

suy ra phương trình đường thẳng \(AB\)\(\left( d \right):y = 2x + 3\).

Đường thẳng \(AB\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(I\left( {0;3} \right)\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{OAB}} = {S_{OAI}} + {S_{OBI}} = \frac{1}{2}AH.OI + \frac{1}{2}BK.OI\).

Ta có \(AH = 1;BK = 3,OI = 3\).

Suy ra \({S_{OAB}} = 6\) (đvdt).

b) Giả sử \(C\left( {c;{c^2}} \right)\) thuộc cung nhỏ \(\left( P \right)\) với \( - 1 < c < 3\).

Diện tích tam giác:\({S_{ABC}} = {S_{ABB'A'}} - {S_{ACC'A'}} - {S_{BCC'B'}}\).

Các tứ giác \(ABB'A',AA'C'C,CBB'C'\) đều là hình thang vuông nên ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{{1 + 9}}{2}.4 - \frac{{1 + {c^2}}}{2}.\left( {c + 1} \right) - \frac{{9 + {c^2}}}{2}.\left( {3 - c} \right) = 8 - 2{\left( {c - 1} \right)^2} \le 8\).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất bằng \(8\) (đvdt) khi \(C\left( {1;1} \right)\).