Ba đường tròn tiếp xúc với nhau từng đôi một và tiếp xúc với các cạnh của tam giác như hình bên. Nếu mỗi đường tròn có bán kính là 3, thì chu vi của tam giác sẽ bằng bao nhiêu?

Ta có \(AI = \frac{{2AO}}{3} = \frac{{2R}}{3} \Rightarrow OI = R - \frac{{2R}}{3} = \frac{R}{3}\)

\(\Delta OCI\) vuông tại \(O\), ta có:

\(CI = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}}  = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{R}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt {10} }}{3}\)

\(\Delta CED\) nội tiếp đường tròn \(O\) có cạnh \(CD\) là đường kính \( \Rightarrow \Delta CED\) vuông tại \(E\)

Hai tam giác vuông \(OCI\) và \(CED\) có \(\widehat C:chung\)

\( \Rightarrow \Delta COI \sim \Delta CED \Rightarrow \frac{{CO}}{{CE}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow CE = \frac{{CO.CD}}{{CI}}\)

\( = \frac{{R.2R}}{{R\frac{{\sqrt {10} }}{3}}} = \frac{{6R}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3R\sqrt {10} }}{5}\)

Kẻ đường cao AH vì tam giác ABC đều (gt) nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc BAC , ta có: $\widehat{\text{BAH}}=\widehat{\text{CAH}}=\frac{\widehat{\text{BAC}}}{2}=\frac{{60}^{°}}{2}={30}^{°}$ Kéo dài AH cắt đường tròn \(({\rm{O}})\) tại D .

Khi đó \(\widehat {{\rm{BOD}}}\) và \(\widehat {{\rm{BAD}}}\) lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BD $\Rightarrow \widehat{\text{BOD}}=2\widehat{\text{BAD}}={2.30}^{°}={60}^{°}$

Tam giác BHO vuông tại H có cạnh huyền \({\rm{OB}} = 3\;{\rm{cm}}\) (gt) và $\widehat{\text{BOD}}={60}^{°}$. Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $\text{BH}=\text{OB}\cdot \sin \text{BOH}=3\cdot \sin {60}^{°}=\frac{3\sqrt{3}}{2}( \text{cm})$

Vì  đều nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC . $\Rightarrow \text{BC}=2\text{BH}=2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}( \text{cm})$

Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền \({\rm{AB}} = {\rm{BC}} = 3\sqrt 3 (\;{\rm{cm}})\) và góc $\widehat{\text{BAH}}={30}^{°}\left(\text{cmt}\right)$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:  $\text{AH}=\text{AB}\cdot \cos \text{BAH}=3\sqrt{3}\cdot \cos {30}^{°}=\frac{9}{2}( \text{cm})$

Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\) là diện tích tam giác đều, ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{AH}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt 3  = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)