Trên các cạnh \(BC,CD\) của hình vuông \(ABCD\) ta lấy lần lượt các điểm \(M,N\) sao cho \(\widehat {MAN} = {45^0}\). Đường thẳng \(BD\) cắt các đường thẳng \(AM,AN\) tương ứng tại các điểm \(P,Q\).

     a) Chứng minh rằng các tứ giác \(ABMQ\) và \(ADNP\) nội tiếp.

     b) Chứng minh rằng các điểm \(M,N,Q,P,C\) nằm trên cùng một đường tròn.

Cho đường tròn \((O)\). Từ một điểm \(M\). ở ngoài đường tròn \((O)\), kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) với đường tròn \((O)(A,B\) là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vẽ đường kính \(BK\) của đường tròn \((O)\), \(H\) là điểm trên \(BK\) sao cho \(AH\) vuông góc \(BK\). Điểm \(I\) là giao điểm của \(AH,MK\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(HA\).

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến \[AB,AC\] với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,C\) là các tiếp điểm). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\).

     a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp và xác định tâm \(I\) của đường tròn này.

     b) Chứng minh rằng \(AM.AO = AB.AI\).

     c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\). Chứng minh \(MG//BC\).

     d) Chứng minh \(IG\) vuông góc với \(CM\).

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M, tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm D.

a) Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh MB² = MD.MA

c) Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AD; tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Chứng minh rằng: BF // AM.

Cho tam gíác \(ABC\) nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(AB < AC\). Ba đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC(D,E,F\) là chân các đường cao) đồng quy tại điểm \(H\). Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Gọi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên đường thằng \(AK\).

a) Chứmg minh rằng tứ giác \(BCEF\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng tam giác \(ABD\) đồng dạng với tam giác \(AKC\) và \(MD\) song song với \(BK\).

c) Già sử hai đỉnh \(B,C\) cố định trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và đinh \(A\) di động trển cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MF\) luôn đi qua một điểm cố định và tìm vị trí của đinh \(A\) sao cho diện tích tam giác \(AEH\) lớn nhất.

Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\). Vẽ tia tiếp tuyến \(Ax\) củng phía với nửa đường tròn đường kính \(AB\). Lấy một điểm \(M\) trên tia \(Ax(M \ne A)\). Vẽ tiếp tuyến \(MC\) với nửa đường tròn \((O)\) ( \(C\) là tiếp điểm). Vẽ \(AC\) cắt \(OM\) tại \(E\), Vẽ \(MB\) cắt nửa đường tròn \((O)\) tại \(D(D \ne B)\).

a) Chứng minh : Tứ giác \(AMDE\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh: \(M{A^2} = MD \cdot MB\).

c) Vẽ \(CH\) vuông góc với \(AB(H \in AB)\). Chứng minh rằng \(MB\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CH\).

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt  (O) tại hai điểm A; B. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M; qua M kẻ hai tiếp tuyến MC; MD với đường tròn  (O) ( C; D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh tứ giác OMCH nội tiếp.

b) OM cắt đường tròn (O) tại I và cắt CD tại K. Chứng minh \({\rm{OK}}{\rm{.OM = }}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}\)

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM, cắt tia MC và MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất.

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), có ba đường cao \(AK,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp.                         

b) Hai đường thẳng \(BE\) và \(CF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) (\(M\) khác \(B\); \(N\) khác \(C\)). Chứng minh: \(MN//EF\).

c) Giả sử hai điểm \(B,C\) cố định, điểm \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A\) khác \(B,C\)). Tìm vị trí của điểm \(A\) sao cho chu vi tam giác \(KEF\) đạt giá trị lớn nhất.