Cho đường tròn ( O ; R ) nội tiếp Δ ABC , tiếp xúc với cạnh AB , AC lần lượt ở D và E a) Gọi O ′ là tâm đường tròn nội tiếp Δ ADE , tính OO ′ theo R .

a). Gọi \(O'\) là giao điểm của \(AO\) với cung nhỏ \(DE\) của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow O'\) thuộc đường phân giác

của \(\widehat A\) trong \(\Delta ADE\).

Ta có \(\widehat {DOA} = \widehat {EOA}\)  (tính chất hai tiếp  tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \widehat {DO'} = \widehat {O'E}\).                                                                                    

Mà  \( \Rightarrow \widehat {ADO'} = \widehat {EDO'}\)\( \Rightarrow DO'\) là phân giác \(\widehat D\)\( \Rightarrow O'\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ADE\). Do đó \(OO' = R\).

b) Do \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \Delta ADE\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {BAC}}}{2} = {90^0} - \frac{{\widehat {BAC}}}{2}\).

Mà \(\widehat {ADE} = \widehat {ABM} + \widehat {NMB} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \widehat {NMB}\) (do \(BO\) là phân giác \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {ABM} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)) \( \Rightarrow \widehat {NMB} = \widehat {ADE} - \frac{{\widehat B}}{2} = {90^0} - \frac{{\widehat {BAC} + \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\).

Mặt khác \(\widehat {NCB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\) (do \(CO\) là tia phân giác \(\widehat {ACB}\)).

Suy ra \(\widehat {NMB} = \widehat {NCB}\), mà \(M,C\) là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác \(BCMN\)\( \Rightarrow \)Tứ giác  \(BCMN\) nội tiếp (vì cùng thuộc một cung chứa góc).

c) \(\Delta NMO\) và \(\Delta BCO\) có \(\widehat {NOM} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh); \(\widehat {NMO} = \widehat {BCO}\)  (cmt)

\( \Rightarrow \Delta NMO\~\Delta BCO\)  (g.g) \( \Rightarrow \frac{{OM}}{{OC}} = \frac{{ON}}{{OB}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).

Tương tự  (g.g) \( \Rightarrow \frac{{DM}}{{AC}} = \frac{{OM}}{{OC}}\);

\(\Delta NEO\~\Delta BAO\)  (g.g) \( \Rightarrow \frac{{NE}}{{AB}} = \frac{{ON}}{{OB}}\).

Vậy \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{DM}}{{AC}} = \frac{{EN}}{{AB}}\).