Câu hỏi:

03/02/2026 59

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A{\rm{ }}(AB < AC)$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Dựng đường thẳng \[d\] qua \[A\] song song ${\rm{BC}}$, đường thẳng \[d'\] qua ${\rm{C}}$ song song ${\rm{BA}}$, gọi ${\rm{D}}$ là giao điểm của \[d\] và \[d'\]. Dựng \[AE\] vuông góc \[BD\] (\[E\] nằm trên \[BD\]), \[F\] là giao điểm của \[BD\] với đường tròn \[\left( O \right)\]. Chứng minh:

a) Tứ giác $AECD$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) $\widehat {{\rm{AOF}}} = 2\widehat {{\rm{CAE}}}$

c) Tứ giác ${\rm{AECF}}$ là hình bình hành.

d) ${\rm{DF}} \cdot {\rm{DB}} = 2{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 21 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 29. Tứ giác nội tiếp có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại \(A{\rm{ }}(A (ảnh 1)$

a) ta có $\widehat {BAC} = 90^\circ $(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ \Rightarrow AB{\rm{//}}CD$ nên $\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 90^\circ $(hai góc so le trong)

Suy ra $\widehat {AED} = \widehat {ACD} = 90^\circ $$ \Rightarrow E;C$cùng nhìn $AD$dưới góc $90^\circ $do đó tứ giác $AECD$nội tiếp.

b) tứ giác $AECD$nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {CAE} = \widehat {CDE}$(2 góc nội tiếp chắn cung $EC$)

$AB{\rm{//}}CD \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {ABD}$(so le trong)

$ \Rightarrow \widehat {CAE} = \widehat {ABD}$

Mà $\widehat {ABD}$là góc ở tâm; \[\widehat {AOF}\]là góc nội tiếp chắn cung $AF$$ \Rightarrow \widehat {AOF} = 2.\widehat {ABD}$ hay $\widehat {AOF} = 2.\widehat {CAE}$

c) Ta có $\widehat {BFC} = 90^\circ $(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$ \Rightarrow AE{\rm{//}}CF$(cùng vuông góc với $BD$)

Lại có $\widehat {AFB} = \widehat {ACB} = \widehat {CAD} = \widehat {FEC} \Rightarrow AF{\rm{//}}EC$

Do đó tứ giác $AECF$là hình bình hành.

d) Gọi giao điểm của $AC$ và $BD$là $I$, do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $IA = IC;IB = ID;AB = CD$

Xét tam giác $DCI$vuông tại $C$có $CF$là đường cao nên $C{D^2} = DF.DI \Rightarrow A{B^2} = DF.DI$

$ \Rightarrow 2A{B^2} = 2.DF.DI$mà $2DI = BD$do đó $2A{B^2} = DF.BD$.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến \[AB,AC\] với đường tròn $\left( O \right)$ ($B,C$ là các tiếp điểm). Gọi $M$ là trung điểm $AB$.

     a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp và xác định tâm $I$ của đường tròn này.

     b) Chứng minh rằng $AM.AO = AB.AI$.

     c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ACM$. Chứng minh $MG//BC$.

     d) Chứng minh $IG$ vuông góc với $CM$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm \(A\ (ảnh 1)$

a) Do $AB,AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = {90^0} \Rightarrow B,C$ thuộc đường tròn đường kính $OA$ có tâm $I$ là trung điểm $OA$.

b) Ta có $AM.AO = \frac{{AB}}{2}.2AI = AB.AI$.

c) Gọi $E$ là trung điểm $MA$, do $G$ là trọng tâm $\Delta CMA$ nên $G \in CE$ và $\frac{{GE}}{{CE}} = \frac{1}{3}$.

Mặt khác $\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{1}{3}$ (vì $ME = \frac{{MA}}{2} = \frac{{MB}}{2}$ nên $ME = \frac{{BE}}{3}$) $ \Rightarrow \frac{{GE}}{{CE}} = \frac{{ME}}{{BE}}$, theo định lý Ta-lét đảo $ \Rightarrow MG//BC$.

d) Gọi $G'$ là giao điểm của $OA$ và $CM \Rightarrow G'$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Nên $\frac{{G'M}}{{CM}} = \frac{1}{3} = \frac{{GE}}{{CE'}}$, theo định lý Ta-lét đảo $GG'//ME$ (1)

$MI$ là đường trung bình trong $\Delta OAB \Rightarrow MI//OB$, mà $AB \bot OB$ (cmt) $ \Rightarrow MI \bot AB$, nghĩa là $MI \bot ME$ (2).

Từ (1) và (2) cho $MI \bot GG'$, ta lại có $GI' \bot MK$ (vì $OA \bot MK$) nên $I$ là trực tâm $\Delta MGG'$$ \Rightarrow GI \bot G'M$ tức $GI \bot CM$.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M, tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm D.

a) Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh MB² = MD.MA

c) Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AD; tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Chứng minh rằng: BF // AM.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M, tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm D. (ảnh 1)

a) Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp được đường tròn.

Ta có MB, MC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\left\{ \begin{array}{l}OB \bot MB\\OC \bot MC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {MBO} = {90^0}\\\widehat {MCO} = {90^0}\end{array} \right.$

Xét tứ giác OBMC có $\widehat {MBO} + \widehat {MCO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà $\widehat {MBO},\widehat {MCO}$ là hai góc đối nhau nên tứ giác OBMC nội tiếp.

b) Chứng minh MB2 = MD.MA

Ta có $\widehat {DBM} = \widehat {BAM}$(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BD).

Xét DMBD và DMAB có:

$ \Rightarrow \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{MD}}{{MB}} \Rightarrow M{B^2} = MA.MD$

c) Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AD; tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Chứng minh rằng: BF // AM.

Ta có E là trung điểm của AD nên OE $ \bot $ AD (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung) $ \Rightarrow \widehat {OEM} = {90^0}$

Xét tứ giác OEMC có $\widehat {OEM} + \widehat {OCM} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà $\widehat {OEM},\widehat {OCM}$là hai góc đối nhau nên tứ giác OEMC nội tiếp.

$ \Rightarrow \widehat {COM} = \widehat {CEM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM) (1)

Ta lại có $\widehat {COM} = \widehat {BOM} = \frac{1}{2}$sđ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $\widehat {BFC} = \frac{1}{2}$ sđ (tính chất góc nội tiếp)

$ \Rightarrow \widehat {COM} = \widehat {BFC}$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {BFC}$

Mà hai góc $\widehat {MEC}$ và $\widehat {BFC}$ ở vị trí đồng vị $ \Rightarrow EM//BF{\rm{ hay }}AM//BF$.

Câu 3