Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O , đường cao BE và CF . Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S , BC và OS cắt nhau tại M . a) Chứng minh rằng AB . MB = AE . BS
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta chứng minh \(\Delta ABE \sim \Delta BSM\).
b) Từ câu a ta có \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{BS}}\) (1)
mà \(MB = EM\) (do \(\Delta BEC\) vuông tại \[E\] có \(M\) là trung điểm của \(BC\))
nên \[\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EM}}{{BS}}\] Có \(\widehat {MOB} = \widehat {BAE};\widehat {EBA} + \widehat {BAE} = {90^0};\)
\(\widehat {MBO} + \widehat {MOB} = {90^0}\) nên \(\widehat {MBO} = \widehat {EBA}\)
do đó \(\widehat {MEB} = \widehat {OBA} = \widehat {MBE}\). Suy ra \(\widehat {MEA} = \widehat {SBA}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta AME \sim \Delta ABS\) (đpcm).
c) Dễ thấy \(SM\) vuông góc với \(BC\) nên ta chứng minh \(NP//SM\).
Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta APB\): Từ câu b) ta có \(\Delta AEM \sim \Delta ABS\) nên \(\widehat {NAE} = \widehat {PAB}\). Mà \(\widehat {AEN} = \widehat {ABP}\) (do tứ giác \(BCEF\) nội tiếp). Do đó \(\Delta ANE \sim \Delta APB\) nên \(\frac{{AN}}{{AP}} = \frac{{AE}}{{AB}}\).
Lại có \(\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( {\Delta AEM \sim \Delta ABS} \right)\). Suy ra \(\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AN}}{{AP}}\) nên trong tam giác \[AMS\] có \(NP//SM\) (định lý Talet đảo). Do đó bài toán được chứng minh.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập