Một cái gương hình lục giác đều có các đỉnh nằm trên một hình tròn bằng gỗ đường kính 20 cm. Tính diện tích gương.

a)  Xét tam giác \(\Delta DFO\), ta có $\widehat{DOF}+\widehat{DFO}+\widehat{ODF}={180}^{°}$

$\Rightarrow \widehat{DOF}+\widehat{DFO}={145}^{°}$ (do $\widehat{ODF}={45}^{°})$             (1)

Xét tứ giác \(DBEF\), ta có  

Mặt khác ta có \(FO,EO\) lần lượt là phân giác góc \(DFE\) và \(BEF\) nên ta có

Suy ra $\widehat{DFO}+\widehat{BEO}={145}^{°}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {DOF} = \widehat {BEO}\).

Xét tam giác \(DOF\) và tam giác \(BEO\), ta có

   + \(\widehat {ODF} = \widehat {OBE} = 45^\circ \);

   + \(\widehat {DOF} = \widehat {BEO}\) (chứng minh trên).

\( \Rightarrow \Delta DOF \sim \Delta BEO(\;{\rm{g}} - {\rm{g}})\)

b)  \(\Delta DOF\~\Delta BEO \Rightarrow \frac{{DF}}{{BO}} = \frac{{DO}}{{BE}} \Rightarrow DF \cdot BE = DO \cdot BO = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{2} = BM \cdot AD.\)

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\)

Xét tam giác \(ADF\) và \(EBM\), ta có

   + \(\widehat {ADF} = \widehat {MBE}\)

   + \(\frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\).

Suy ra \(\Delta ADF \sim \Delta EBM \Rightarrow \widehat {BME} = \widehat {AFD}\)

Mặt khác ta có \(\widehat {BAF} = \widehat {AFD}(AB//CD)\). Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BAF}\) suy ra \(ME//ED\) .

Gọi \[O\] là giao điểm của \[AD\], \[BE\], \[CF\]. Dễ dàng chứng minh \[N\] là trung điểm của \[OC\], \[\Delta AFM = \Delta AON\] (c.g.c).

Từ đó \[AM = AN\] và \[\widehat {MAN} = 60^\circ \] nên \[\Delta AMN\] là tam giác đều.