Cho vòng quay mặt trời gồm mười hai cabin như vẽ bên dưới. Hỏi để cabin \(A\) di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?

a)  Xét tam giác \(\Delta DFO\), ta có $\widehat{DOF}+\widehat{DFO}+\widehat{ODF}={180}^{°}$

$\Rightarrow \widehat{DOF}+\widehat{DFO}={145}^{°}$ (do $\widehat{ODF}={45}^{°})$             (1)

Xét tứ giác \(DBEF\), ta có  

Mặt khác ta có \(FO,EO\) lần lượt là phân giác góc \(DFE\) và \(BEF\) nên ta có

Suy ra $\widehat{DFO}+\widehat{BEO}={145}^{°}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {DOF} = \widehat {BEO}\).

Xét tam giác \(DOF\) và tam giác \(BEO\), ta có

   + \(\widehat {ODF} = \widehat {OBE} = 45^\circ \);

   + \(\widehat {DOF} = \widehat {BEO}\) (chứng minh trên).

\( \Rightarrow \Delta DOF \sim \Delta BEO(\;{\rm{g}} - {\rm{g}})\)

b)  \(\Delta DOF\~\Delta BEO \Rightarrow \frac{{DF}}{{BO}} = \frac{{DO}}{{BE}} \Rightarrow DF \cdot BE = DO \cdot BO = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{2} = BM \cdot AD.\)

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\)

Xét tam giác \(ADF\) và \(EBM\), ta có

   + \(\widehat {ADF} = \widehat {MBE}\)

   + \(\frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\).

Suy ra \(\Delta ADF \sim \Delta EBM \Rightarrow \widehat {BME} = \widehat {AFD}\)

Mặt khác ta có \(\widehat {BAF} = \widehat {AFD}(AB//CD)\). Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BAF}\) suy ra \(ME//ED\) .

Gọi \[O\] là giao điểm của \[AD\], \[BE\], \[CF\]. Dễ dàng chứng minh \[N\] là trung điểm của \[OC\], \[\Delta AFM = \Delta AON\] (c.g.c).

Từ đó \[AM = AN\] và \[\widehat {MAN} = 60^\circ \] nên \[\Delta AMN\] là tam giác đều.