Cho biết \(I = \int {\frac{1}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{{x + 1}} - c\ln \left| x \right| + d\ln \left| {x + 1} \right| + C\), với \[a,\,b,\,c,\,d\] là số nguyên. Tính \[S = a + b - c + d\].
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Nguyên hàm (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
S = -2
Ta có \(I = \int {\frac{1}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int {{{\left[ {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \int {{{\left[ {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \)
\[ = \int {\left[ {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]{\rm{d}}x} \]\[ = \int {\left[ {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{x} + \frac{2}{{x + 1}}} \right]{\rm{d}}x} \]
\[ = - \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} - 2\ln \left| x \right| + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\].
Đối chiếu yêu cầu bài toán ta có \[a = - 1;\,b = - 1;\,c = 2;\,d = 2\], suy ra \[S = a + b - c + d = - 2\].
Chú ý: \[\int {\frac{1}{{ax + b}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{a}\int {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }{\rm{d}}x}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\].
\[\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{a}\int {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }{\rm{d}}x}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}} = - \frac{1}{a}.\frac{1}{{ax + b}} + C\]Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
+) Ta có \(f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x = \cos x\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\cos x - \cos x\cos 2x} \right)\)\( = \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{4}\left( {\cos 3x + \cos x} \right)\)\( = \frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x\).
+) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + C\).
Lại có: \[F\left( 0 \right) = 2025\] \[ \Rightarrow C = 2025\]\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + 2025\)\( \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4}\sin \,\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{12}}\sin \,\frac{{3\pi }}{2} + 2025\)\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{{12}} + 2025 = \frac{{6076}}{3} \approx 2025\).
Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) \approx 2025\].Lời giải
+) Ta có \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)\( = \frac{1}{2}\left( {2x - 1 + 1} \right){\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)\( = \frac{1}{2}{\left( {2x - 1} \right)^{2026}} + \frac{1}{2}{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)..
+) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}} + \frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^{2025}}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{2027}} + \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{2026}} + C\)\( = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + C\).
Lại có: \[F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\] \[ \Rightarrow C = 1\]\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + 1\)\( \Rightarrow F\left( 0 \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + 1 \approx 1\).
Vậy \[F\left( 0 \right) \approx 1\].Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} + x - 45}}{{{x^2} - x - 45}}} \right| + C\).
B. \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C\).
C. \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} + x - 45}}{{{x^2} - x - 45}}} \right| + C\).
D. \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(I = \ln \left| {x - \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
B. \(I = \ln \left| {1 - \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
C. \(I = \ln \left| {x + \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
D. \(I = \ln \left| {1 + \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\log {x^2} + C\].
B. \(\frac{{\log _2^2x}}{2} + C\).
C. \(\log _2^2x + C\).
D. \(\frac{{{{\log }_2}{x^2}}}{2} + C\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập