Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục, có đạo hàm trên \[R\] thỏa mãn điều kiện \[f(x) + x\left( {{f^\prime }(x) - 2\sin x} \right) = {x^2}\cos x,x \in R\] và \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\]. Tính \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \]

Vận tốc của vật được biểu diển bởi hàm số \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right) = \int {10\sin t{\rm{d}}t} }  =  - 10\cos t + C\).

Khi vật bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc là \(5{\rm{ m/s}}\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow  - 10\cos 0 + C = 5 \Leftrightarrow C = 15\).

Do đó \(v\left( t \right) =  - 10\cos t + 15\).

Ta có \( - 1 \le \cos t \le 1,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]\)

                    \( \Leftrightarrow 10 \ge  - 10\cos t \ge  - 10,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]\)

                    \[ \Leftrightarrow 25 \ge  - 10\cos t + 15 \ge 5,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]\]

                        \( \Leftrightarrow 25 \ge v\left( t \right) \ge 5,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]\)

Vậy vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất là \(25{\rm{ m/s}}\) khi \(t = \pi \).

Ta có: \({\sin ^8}x - {\cos ^8}x - 4{\sin ^6}x = \left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x\)

                                                             \( = \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x\)

                                                             \( = {\cos ^4}x.{\sin ^2}x - {\sin ^4}x.{\cos ^2}x - {\cos ^6}x - 3{\sin ^6}x\)

                                                             \( = {\cos ^4}x.{\sin ^2}x - {\sin ^4}x.{\cos ^2}x - 2{\sin ^6}x - \left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right)\)

                                                             \( = {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right) - {\sin ^4}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x.{{\sin }^2}x} \right)\)

                                                             \( = 4{\cos ^2}x.{\sin ^2}x - 2{\sin ^4}x - 1\)

                                                             \( =  - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}\).

Do đó \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( { - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}} \right){\rm{d}}x}  =  - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x + C\)

Vì \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \( - \frac{3}{{16}}\sin 4.0 + \frac{1}{2}\sin 2.0 - \frac{5}{4}.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).

Vậy \(f\left( x \right) =  - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x\).

Ta có \(I = \int\limits_0^\pi  {8f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

                                    \(\begin{array}{l} = \int\limits_0^\pi  {8\left( { - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x} \right){\rm{d}}x} \\ = \int\limits_0^\pi  {\left( { - \frac{3}{2}\sin 4x + 4\sin 2x - 10x} \right){\rm{d}}x} \\ = \left. {\left( {\frac{3}{8}\cos 4x - 2\cos 2x - 5{x^2}} \right)} \right|_0^\pi  =  - 5{\pi ^2}\end{array}\)