Biết tích phân  \[\int\limits_0^{\ln 2\sqrt 2 } {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1} }}} \,{\rm{d}}x = \ln \left( {\sqrt a  + b} \right)\], với \[a,\,b\] là số nguyên dương. Tính tích \[a \cdot b\].

Đặt \[u = {e^x}\] ta có \[x = 0 \Rightarrow u = 1;\,x = \ln 2\sqrt 2  \Rightarrow u = 2\sqrt 2 \]; \[{\rm{d}}u = {e^x}{\rm{d}}x\]

Ta có \[\int\limits_0^{\ln 2\sqrt 2 } {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1} }}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^{2\sqrt 2 } {\frac{{{\rm{d}}u}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}} \]

Đặt \[t = u + \sqrt {{u^2} + 1}  \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + \frac{u}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}} \right){\rm{d}}u \Rightarrow {\rm{d}}t = \frac{{u + \sqrt {{u^2} + 1} }}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}{\rm{d}}u \Leftrightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{t} = \frac{{{\rm{d}}u}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}\]

Đổi cận \[u = 1 \Rightarrow t = 1 + \sqrt 2 ;\,u = 2\sqrt 2  \Rightarrow t = 3 + 2\sqrt 2 \]

                 \[\int\limits_1^{2\sqrt 2 } {\frac{{{\rm{d}}u}}{{\sqrt {{u^2} + 1} }}}  = \int\limits_{1 + \sqrt 2 }^{3 + 2\sqrt 2 } {\frac{{{\rm{d}}t}}{t}}  = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{1 + \sqrt 2 }^{3 + 2\sqrt 2 } = \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\]