Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số \(a\left( t \right) = 10\sin t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Lúc bắt đầu chuyển động vật có vận tốc \(5{\rm{ m/s}}\). Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong \(\pi \)(\(s\)) đầu tiên.

Ta có: \({\sin ^8}x - {\cos ^8}x - 4{\sin ^6}x = \left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x\)

                                                             \( = \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 4{\sin ^6}x\)

                                                             \( = {\cos ^4}x.{\sin ^2}x - {\sin ^4}x.{\cos ^2}x - {\cos ^6}x - 3{\sin ^6}x\)

                                                             \( = {\cos ^4}x.{\sin ^2}x - {\sin ^4}x.{\cos ^2}x - 2{\sin ^6}x - \left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right)\)

                                                             \( = {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right) - {\sin ^4}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 3{{\cos }^2}x.{{\sin }^2}x} \right)\)

                                                             \( = 4{\cos ^2}x.{\sin ^2}x - 2{\sin ^4}x - 1\)

                                                             \( =  - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}\).

Do đó \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( { - \frac{3}{4}\cos 4x + \cos 2x - \frac{5}{4}} \right){\rm{d}}x}  =  - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x + C\)

Vì \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \( - \frac{3}{{16}}\sin 4.0 + \frac{1}{2}\sin 2.0 - \frac{5}{4}.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).

Vậy \(f\left( x \right) =  - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x\).

Ta có \(I = \int\limits_0^\pi  {8f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

                                    \(\begin{array}{l} = \int\limits_0^\pi  {8\left( { - \frac{3}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{4}x} \right){\rm{d}}x} \\ = \int\limits_0^\pi  {\left( { - \frac{3}{2}\sin 4x + 4\sin 2x - 10x} \right){\rm{d}}x} \\ = \left. {\left( {\frac{3}{8}\cos 4x - 2\cos 2x - 5{x^2}} \right)} \right|_0^\pi  =  - 5{\pi ^2}\end{array}\)

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\], \[Ox\] và 2 đường thẳng\[x = 0,\,\,x = 1\] được xác định bởi công thức:\[S = \int\limits_0^1 {\left( { - 4{x^2} + 14} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{38}}{3}.\]

Vậy khẳng định a) là đúng.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\], đường thẳng \[\Delta :y = 2025\] và 2 đường thẳng \[x = 0,\,\,x = 1\] được xác định bởi công thức: \[S = \int\limits_0^1 {\left| {4{x^2} - 14 - 2025} \right|{\rm{d}}x}  = \frac{{6113}}{3}\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\], đường thẳng \[\Delta :y = 2025\] và 2 đường thẳng \[x = 0,\,\,x =  - 1\] được xác định bởi công thức: \[S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {4{x^2} - 14 - 2025} \right|{\rm{d}}x}  = \frac{{6113}}{3}\]

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[Ox\] và đồ thị \[\left( P \right):\]\[4{x^2} - 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\\x = \frac{{ - \sqrt {14} }}{2}\end{array} \right..\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\] và \[Ox\]được xác định bởi công thức: \[S = \int\limits_{\frac{{ - \sqrt {14} }}{2}}^{\frac{{\sqrt {14} }}{2}} {\left| {4{x^2} - 14} \right|{\rm{d}}x}  \approx 34,9\].

Vậy khẳng định c) là sai.

d) Do đồ thị \[\left( P \right)\] đối xứng qua \[Oy\] nên ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\] và \[Ox\] gấp 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\], \[Ox\] và 2 đường thẳng \[x = 0,\,\,x = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\] .