Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}.\)

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\], \[Ox\] và 2 đường thẳng\[x = 0,\,\,x = 1\] được xác định bởi công thức:\[S = \int\limits_0^1 {{x^2}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{3}.\]

Vậy khẳng định a) là sai.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\], đường thẳng \[\Delta :y = 2x\] và 2 đường thẳng \[x = 0,\,\,x = 2\] được xác định bởi công thức: \[S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x}  = \frac{4}{3}.\]

Vậy khẳng định b) là sai.

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \[d\] và đồ thị \[\left( P \right):\]

\[{x^2} = 3x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right..\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( P \right)\], đường thẳng \[d:y = 3x - 2\] được xác định bởi công thức: \[S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|{\rm{d}}x}  = \frac{1}{6}.\]

Vậy khẳng định c) là sai.

d) Gọi phương trình đường thẳng \(AB\)là: \(y = ax + b\) \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Phương trình giao điểm của \(AB\)và \(\left( P \right)\)là: \({x^2} - ax - b = 0\)

Để có 2 điểm \(A,B\) thì \({a^2} + 4b > 0\). khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {{x_1};a{x_1} + b} \right)\\B\left( {{x_2};a{x_2} + b} \right)\\{x_1} + {x_2} = a\\{x_1}{x_2} =  - b\end{array} \right.\)

Nên \[AB = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)} \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 2\]

Giả sử \[{x_2} > {x_1}\] ta có \[\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \frac{2}{{\sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)} }} \le 2\]

Mặt khác: \[\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{a^2} + 4b} \]

Khi đó \[S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {ax + b - {x^2}} {\rm{d}}x = \frac{a}{2}\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + b\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \frac{1}{3}\left( {x_2^3 - x_1^3} \right)\]

\[ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left[ {\frac{a}{2}\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + b - \frac{1}{3}\left( {x_2^2 + {x_1}{x_2} + x_1^2} \right)} \right]\]

\[ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left[ {\frac{a}{2}.a + b - \frac{1}{3}\left( {{a^2} + b} \right)} \right]\]\[ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left[ {\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{2b}}{3}} \right]\]\[ = \frac{{{a^2} + 4b}}{6}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\]\[ = \frac{{{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^3}}}{6} \le \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\].

Suy ra: \({S_{max}} = \frac{4}{3}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\{x_2} - {x_1} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\{x_1} = {x_2} = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn vì \(\left( P \right)\) có tính đối xứng)

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;1} \right)\\B\left( { - 1;1} \right)\end{array} \right.\] hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 1;1} \right)\\B\left( {1;1} \right)\end{array} \right.\).