Phương trình \(3{x^2} + 7x + m = 0\) có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số \(m\) và tìm nghiệm còn lại.

a) \[\Delta  = {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x_1} - 4{x_2} = 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] tìm \[{x_1}\], \[{x_2}\] rồi thay vào \[\left( 3 \right)\].

Chú ý: Có thể tìm \[{x_1}\], \[{x_2}\] từ phương trình đã cho rồi thay vào \[\left( 2 \right)\].

b) Phương trình có hai nghiệm đều âm khi

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\S < 0\\P < 0\end{array} \right.\] giải ra được \[m > 1\].

c) Khử \[m\] từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 3 \right)\].

Vì \(\Delta  = {5^2} - 4.1.2 = 17 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có\({x_1} + {x_2} = 5,{x_1}{x_2} = 2\)

a) Ta có:

\(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2 \cdot 2 = 21\)

b) Ta có:

\(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2}  = \sqrt {17} \)

c) Vì \({x_1} + {x_2} > 0\) và \({x_1}{x_2} > 0\) nên \({x_1} > 0,{x_2} > 0\). Ta có

\(C = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3 \cdot x_2^3}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}} = \frac{{{5^3} - 3 \cdot 2 \cdot 5}}{{{2^3}}} = \frac{{95}}{8}\)

d) Ta có:

1. \(\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)}^2}}  = \sqrt {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} }  = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \)\(.\)

Suy ra \(D = \frac{{{x_1}\sqrt {{x_1}}  + {x_2}\sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}}  \cdot \sqrt {{x_2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)\left( {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right)}}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{\left( {5 - \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt 2 }}\)