Cho phương trình \({x^2} - x - 10 = 0\). Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) và tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\).

Ta có: \(a = 1;c =  - 10 \Rightarrow ac < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Theo định lí Viete, ta có: \({x_1} + {x_2} = 1;{x_1}{x_2} =  - 10\). Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 - 2.( - 10) = 21\).

Nhận xét: - Ta có \(ac < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0\) mà \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0\). Vậy khi \[a{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}c\] trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệp phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: \({x_1} < 0 < {x_2}\) ).

- Biểu thức \({x_1}^2 + {x_2}^2\) không thay đổi khi ta thay \({x_1}\) bởi \({x_2}\) và ngược lại, gọi là biểu thức đối xứng của \({x_1}\) và \({x_2}\). Bạn cần nhớ một vài công thức sau: \(S = {x_1} + {x_2}\), ta có:

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P\) (biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)

\[{{\rm{x}}_1}^3 + {\rm{x}}_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = S\left( {{S^2} - 3P} \right) = {S^3} - 3SP\]

\({x_1}^4 + {x_2}^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2{x_1}^2{x_2}^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{x_1}^2x_2^2 = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}\)

\({\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {S^2} - 4P\)