Cho phương trình \({x^2} - x - 10 = 0\). Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) và tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\).

Câu hỏi trong đề: 25 bài tập Toán 9 Cánh diều Ôn tập cuối chương 7 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: \(a = 1;c = - 10 \Rightarrow ac < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Theo định lí Viete, ta có: \({x_1} + {x_2} = 1;{x_1}{x_2} = - 10\). Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 - 2.( - 10) = 21\).

Nhận xét: - Ta có \(ac < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0\) mà \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0\). Vậy khi \[a{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}c\] trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệp phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: \({x_1} < 0 < {x_2}\) ).

- Biểu thức \({x_1}^2 + {x_2}^2\) không thay đổi khi ta thay \({x_1}\) bởi \({x_2}\) và ngược lại, gọi là biểu thức đối xứng của \({x_1}\) và \({x_2}\). Bạn cần nhớ một vài công thức sau: \(S = {x_1} + {x_2}\), ta có:

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P\) (biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)

\[{{\rm{x}}_1}^3 + {\rm{x}}_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = S\left( {{S^2} - 3P} \right) = {S^3} - 3SP\]

\({x_1}^4 + {x_2}^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2{x_1}^2{x_2}^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{x_1}^2x_2^2 = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}\)

\({\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {S^2} - 4P\)

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giả sử Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m, điểm cao nhất trên cổng cách mặt đất 185,6m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Hỏi vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn bao nhiêu mét? (làm tròn đến cm )

Xem đáp án

Lời giải

Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).

\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}\) \( \Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 185,6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185,6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}\)

\((P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}\)

\({\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185,6 - 43 = 142,6\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142,6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow - 142,6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2\)

\( \Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142,6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}} \approx 71,11\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{OE}} = 71,11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71,11 = 9,89\;{\rm{m}}.\)

Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng \(A\) một khoảng là \(9,89\;{\rm{m}}\).

Câu 2

Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 2\;m - 3 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2\), trong đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn: Trước hết phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm; sau đó áp dụng hệ thực Viète để tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\) qua các hệ số.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(a = 1;b = - 2\;m \Rightarrow \;b' = - m;c = 2\;m - 3\). Phương trình đã cho có nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{{{\left( { - m} \right)}^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\) vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\)) Vậy \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 4{m^2} - 4m + 6 = \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 5n\)

\( = {(2m - 1)^2} + 5 \ge 5;\forall m\left( {{{(2m - 1)}^2} \ge 0,\forall m} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện phương trình có nghiệm thì vẫn đúng đáp số, nhưng lời giải như vậy chưa chính xác.

Câu 3