Cho phương trình ${x^2} - x - 10 = 0$. Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ và tính ${x_1}^2 + {x_2}^2$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 bài tập Toán 9 Cánh diều Ôn tập cuối chương 7 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $a = 1;c = - 10 \Rightarrow ac < 0 \Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$. Theo định lí Viete, ta có: ${x_1} + {x_2} = 1;{x_1}{x_2} = - 10$. Vậy ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 - 2.( - 10) = 21$.

Nhận xét: - Ta có $ac < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0$ mà ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0$. Vậy khi \[a{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}c\] trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệp phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: ${x_1} < 0 < {x_2}$ ).

- Biểu thức ${x_1}^2 + {x_2}^2$ không thay đổi khi ta thay ${x_1}$ bởi ${x_2}$ và ngược lại, gọi là biểu thức đối xứng của ${x_1}$ và ${x_2}$. Bạn cần nhớ một vài công thức sau: $S = {x_1} + {x_2}$, ta có:

${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P$ (biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)

\[{{\rm{x}}_1}^3 + {\rm{x}}_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = S\left( {{S^2} - 3P} \right) = {S^3} - 3SP\]

${x_1}^4 + {x_2}^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2{x_1}^2{x_2}^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{x_1}^2x_2^2 = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}$

${\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {S^2} - 4P$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần. Nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chữ số hàng chục là $x$, chữ số hàng đơn vị là $y\,(x,y \in \mathbb{N},0 < x \le 9,0 \le y \le 9)$.

Theo đề Câu, tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, ta có phương trình

$6(x + y) = 10x + y{\rm{. }}$ (1)

Nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho, ta có phương trình

$xy + 25 = 10y + x{\rm{. }}$ (2)

Từ (1) suy ra $x = \frac{{5y}}{4}$thay vào (2) ta có ${y^2} - 9y + 20 = 0$.

Giải phương trình này, ta được ${y_1} = 5,{y_2} = 4$.

Với ${y_1} = 5$ thì ${x_1} = 6,25$ (không thỏa mãn).

Với ${y_2} = 4$ thì ${x_2} = 5$ (thỏa mãn).

Vậy số phải tìm là 54.

Câu 2

Giả sử Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m, điểm cao nhất trên cổng cách mặt đất 185,6m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Hỏi vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn bao nhiêu mét? (làm tròn đến cm )

Xem đáp án

Lời giải

Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: $(P):y = a{x^2}(a < 0)$.

${\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}$ $ \Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 185,6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185,6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}$

$(P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}$

${\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185,6 - 43 = 142,6\;{\rm{m}}$

$ \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142,6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow - 142,6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2$

$ \Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142,6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}} \approx 71,11\;{\rm{m}}$

$ \Rightarrow {\rm{OE}} = 71,11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71,11 = 9,89\;{\rm{m}}.$

Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng $A$ một khoảng là $9,89\;{\rm{m}}$.

Câu 3