Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + 2x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(3{x_1} + 2{x_2} = 1\).

Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).

\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}\) \( \Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 185,6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185,6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}\)

\((P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}\)

\({\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185,6 - 43 = 142,6\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142,6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow  - 142,6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2\)

\( \Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142,6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}}  \approx 71,11\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{OE}} = 71,11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71,11 = 9,89\;{\rm{m}}.\)

Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng \(A\) một khoảng là \(9,89\;{\rm{m}}\).

Ta có \(a = 1;b =  - 2\;m \Rightarrow \;b' =  - m;c = 2\;m - 3\). Phương trình đã cho có nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{{{\left( { - m} \right)}^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\) vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\)) Vậy \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 4{m^2} - 4m + 6 = \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 5n\)

\( = {(2m - 1)^2} + 5 \ge 5;\forall m\left( {{{(2m - 1)}^2} \ge 0,\forall m} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện phương trình có nghiệm thì vẫn đúng đáp số, nhưng lời giải như vậy chưa chính xác.