Cho \({{\rm{d}}_{\rm{1}}}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) và \({\rm{  }}{{\rm{d}}_{\rm{2}}}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y =  - t\\z = 2 + mt\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau

Gọi \(B = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow \)tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 6 = 0\\\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;1;2} \right)\)

Vì \(d \subset \left( P \right)\) và \(d\) cắt \(\Delta  \Rightarrow B \in d \Rightarrow d\) đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0; - 1} \right)\) làm một VTCP.

Đường thẳng \[d\] có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;\, - 2;2} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT \[\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\], gọi  \[\overrightarrow u \] là 1 VTCP của đường thẳng \[\Delta \]

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot d\\\Delta //\left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;4;3} \right)\).

Suy ra PTTS của đường thẳng \[\Delta \] :\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\]. Chọn \(t = 1 \Rightarrow \Delta \)đi qua điểm \(M\left( {5;5;6} \right)\)