Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp \(S.ABCD\), có đáy là hình vuông với cạnh dài \(230\;{\rm{m}}\), các cạnh bên bằng nhau và dài \(219\,{\rm{m}}\) (theo britannica.com) (hình vẽ). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(BG\) và \(SA\) (làm tròn tới hàng đơn vị độ).
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp \(S.ABCD\), có đáy là hình vuông với cạnh dài \(230\;{\rm{m}}\), các cạnh bên bằng nhau và dài \(219\,{\rm{m}}\) (theo britannica.com) (hình vẽ). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(BG\) và \(SA\) (làm tròn tới hàng đơn vị độ).
A. \(66^\circ \).
B. \(69^\circ \).
C. \(70^\circ \).
D. \(71^\circ \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn D.
Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ.
Đặt \(AB = 230 = a\), \(SA = 219 = b\).
Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}\).
Do đó: \(A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {0\,;\; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\], \(D\left( {0\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[S\left( {0\,;\;0\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\].
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\; - \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {BG} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).
Suy ra \[\cos \left( {SA\,,\;BG} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BG} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BG} } \right|}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{4{b^2} - 2{a^2}}}{{12}}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{6}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\frac{{{b^2}}}{3}}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]
\[ = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}\] \[ = \frac{{219}}{{\sqrt {471\;161} }}\].
Vậy \[\left( {SA\,,\;BG} \right) \approx 71^\circ 23'40''\;\].Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid36-1770300557.png)
Lời giải
![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid37-1770300563.png)
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2;1} \right)\).
\({\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) \( \Rightarrow \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \)
Khi ráp 2 mái tiếp xúc với các thanh đà bên dưới ta được\(\widehat {{\rm{BAF}}} = \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \).
Theo đề tam giác ABF cân tại A vì \(AB = AF\)\( \Rightarrow \widehat {AFB} = 57^\circ \)
Gọi H là trung điểm BF, khi đó AH cũng là đường cao trong tam giác cân ABF.
\(AF = \frac{{HF}}{{cos\widehat {AFH}}} \approx 18,4\,m\)
Tỉ số \[\frac{{AF}}{{BF}} = 0,92\].Câu 2
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{4}\).
C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
D. \(\frac{1}{{\sqrt 7 }}\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \,\,\,BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAB} \right) \bot BC\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\end{array} \right.\) nên \(\left( {\left( {SBC} \right)\,,\;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB\,,\;AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Suy ra \(SH = BH\tan 60^\circ = 2\sqrt 3 \).
Chọn hệ tọa độ \(Hxyz\) như hình vẽ.
Ta có \(H\left( {0\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(C\left( {2\,;\;4\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\) với \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).
Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt ba trục \(Hx\), \(Hy\), \(Hz\) lần lượt tại các điểm \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\) nên có phương trình: \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{2\sqrt 3 }} = 1\) \( \Leftrightarrow \,\,\, - 3x + 3y + \sqrt 3 z - 6 = 0\).
Gọi \[\varphi \] là góc giữa \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), ta có \[\cos \varphi = \frac{{\left| {1.\sqrt 3 } \right|}}{{1.\sqrt {9 + 9 + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\].
Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \[\frac{1}{{\sqrt 7 }}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[{30^0}\].
B. \[{45^0}\].
C. \[{90^0}\].
D. \[{60^0}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
B. \[\frac{1}{2}\].
C. \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(30^\circ \).
B. \(45^\circ \).
C. \(60^\circ \).
D. \(90^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập