Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp \(S.ABCD\), có đáy là hình vuông với cạnh dài \(230\;{\rm{m}}\), các cạnh bên bằng nhau và dài \(219\,{\rm{m}}\) (theo britannica.com) (hình vẽ). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(BG\) và \(SA\) (làm tròn tới hàng đơn vị độ).
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp \(S.ABCD\), có đáy là hình vuông với cạnh dài \(230\;{\rm{m}}\), các cạnh bên bằng nhau và dài \(219\,{\rm{m}}\) (theo britannica.com) (hình vẽ). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(BG\) và \(SA\) (làm tròn tới hàng đơn vị độ).
A. \(66^\circ \).
B. \(69^\circ \).
C. \(70^\circ \).
D. \(71^\circ \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn D.
Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ.
Đặt \(AB = 230 = a\), \(SA = 219 = b\).
Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}\).
Do đó: \(A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {0\,;\; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\], \(D\left( {0\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[S\left( {0\,;\;0\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\].
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\; - \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {BG} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).
Suy ra \[\cos \left( {SA\,,\;BG} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BG} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BG} } \right|}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{4{b^2} - 2{a^2}}}{{12}}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{6}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\frac{{{b^2}}}{3}}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]
\[ = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}\] \[ = \frac{{219}}{{\sqrt {471\;161} }}\].
Vậy \[\left( {SA\,,\;BG} \right) \approx 71^\circ 23'40''\;\].Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ\[Oxyz\]. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid34-1770300505.png)
Lời giải
![Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ\[Oxyz\]. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid35-1770300519.png)
Đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 1 + t\\z = - 2 + 4t\end{array} \right.\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)\).
\(\sin \left( {a,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{1}{3}} = \sin \varphi \)
Độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là khoảng cách từ chân bàn A đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Suy ra \(d\left( {A,(P)} \right) = AH = FA.\sin \varphi = 40\sqrt 3 .\sqrt {\frac{1}{3}} = 40\,cm\).![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid36-1770300557.png)
Lời giải
![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid37-1770300563.png)
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2;1} \right)\).
\({\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) \( \Rightarrow \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \)
Khi ráp 2 mái tiếp xúc với các thanh đà bên dưới ta được\(\widehat {{\rm{BAF}}} = \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \).
Theo đề tam giác ABF cân tại A vì \(AB = AF\)\( \Rightarrow \widehat {AFB} = 57^\circ \)
Gọi H là trung điểm BF, khi đó AH cũng là đường cao trong tam giác cân ABF.
\(AF = \frac{{HF}}{{cos\widehat {AFH}}} \approx 18,4\,m\)
Tỉ số \[\frac{{AF}}{{BF}} = 0,92\].Câu 3
A. \(\frac{1}{2}.\)
B. \(1\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
D. \(\frac{3}{7}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{4}\).
C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
D. \(\frac{1}{{\sqrt 7 }}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập