Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ\[Oxyz\]. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y = 1 + t\\z =  - 2 + 4t\end{array} \right.\) cắt mặt bàn \(\left( P \right):x + y - 2z + 6 = 0\) tại điểm F. Độ dài chân bàn \(FA = 40\sqrt 3 \,cm\), khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là bao nhiêu cm?

Chọn D.

Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Đặt \(AB = 230 = a\), \(SA = 219 = b\).

Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}\).

Do đó: \(A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {0\,;\; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\], \(D\left( {0\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[S\left( {0\,;\;0\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\].

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\; - \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {BG}  = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).

Suy ra \[\cos \left( {SA\,,\;BG} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BG} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BG} } \right|}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{4{b^2} - 2{a^2}}}{{12}}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{6}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\frac{{{b^2}}}{3}}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]

\[ = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}\]   \[ = \frac{{219}}{{\sqrt {471\;161} }}\].