Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):4x - 4y + 3z - 2 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {m\,;n\,;1} \right)\). Khi \(\Delta \) tạo với \(\left( Q \right)\) một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng bao nhiêu?

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

               Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;2;1} \right)\).

               \({\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) \( \Rightarrow \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \)

               Khi ráp 2 mái tiếp xúc với các thanh đà bên dưới ta được\(\widehat {{\rm{BAF}}} = \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \).

               Theo đề tam giác ABF cân tại A vì \(AB = AF\)\( \Rightarrow \widehat {AFB} = 57^\circ \)

               Gọi H là trung điểm BF, khi đó AH cũng là đường cao trong tam giác cân ABF.

               \(AF = \frac{{HF}}{{cos\widehat {AFH}}} \approx 18,4\,m\)

Đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y = 1 + t\\z =  - 2 + 4t\end{array} \right.\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;4} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\).

               \(\sin \left( {a,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{1}{3}}  = \sin \varphi \)

Độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là khoảng cách từ chân bàn A đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)