Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \[\left( P \right):x - y + z - 2 = 0\], \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\]và điểm \[A\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right) \in \left( P \right)\] . Đường thẳng \[\Delta \] qua \[A\], nằm trong \[\left( P \right)\] và tạo với \[d\] một góc nhỏ nhất. Biết \[\Delta \cap \left( {Oxy} \right) = B\left( {m\,;\,n\,;\,p} \right)\]. Giá trị \[T = 7m + 7n + p\]bằng
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
18
![Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho (P) :x - y + z - 2 = 0 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid33-1770300434.png)
Gọi \[d'\] là đường thẳng qua \[A\] và song song với \[d\]. Trên \[d'\] lấy điểm \[I\]; \[H\]là hình chiếu vuông góc của \[I\] trên \[\left( P \right)\]và \[K\] là hình chiếu vuông góc của \[H\]trên \[\Delta \].
Khi đó \[\left( {d,\Delta } \right) = \left( {d',\Delta } \right) = \widehat {IAK} = \alpha \].
mà \[\sin \alpha = \frac{{IK}}{{IA}} \ge \frac{{IH}}{{IA}}\] suy ra \[{\alpha _{\min }} \Leftrightarrow H \equiv K\] hay \[\Delta \] qua \[A\] và \[H\], hay \[\Delta \] là hình chiếu vuông góc của \[d'\] trên \[\left( P \right)\].
Ta có: \[\left( P \right)\]có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,1} \right)\], \[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)\], suy ra \[\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} \,} \right] = \left( {4\,;\,3\,;\, - 1} \right)\].
\[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( {AIH} \right)}}} } \right] = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right] = \left( { - 2\,;\,5\,;\,7} \right)\]\[ \Rightarrow \Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{7}\]
Khi đó \[\Delta \cap \left( {Oxy} \right) = B \Rightarrow B\left( {\frac{{16}}{7}\,;\,\frac{2}{7}\,;\,0} \right)\], do đó \[m = \frac{{16}}{7},\,n = \frac{2}{7},\,p = 0\].
Vậy \[T = 7m + 7n + p = 18\].Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid36-1770300557.png)
Lời giải
![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid37-1770300563.png)
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2;1} \right)\).
\({\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) \( \Rightarrow \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \)
Khi ráp 2 mái tiếp xúc với các thanh đà bên dưới ta được\(\widehat {{\rm{BAF}}} = \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \).
Theo đề tam giác ABF cân tại A vì \(AB = AF\)\( \Rightarrow \widehat {AFB} = 57^\circ \)
Gọi H là trung điểm BF, khi đó AH cũng là đường cao trong tam giác cân ABF.
\(AF = \frac{{HF}}{{cos\widehat {AFH}}} \approx 18,4\,m\)
Tỉ số \[\frac{{AF}}{{BF}} = 0,92\].Câu 2
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{4}\).
C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
D. \(\frac{1}{{\sqrt 7 }}\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \,\,\,BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAB} \right) \bot BC\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\end{array} \right.\) nên \(\left( {\left( {SBC} \right)\,,\;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB\,,\;AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Suy ra \(SH = BH\tan 60^\circ = 2\sqrt 3 \).
Chọn hệ tọa độ \(Hxyz\) như hình vẽ.
Ta có \(H\left( {0\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(C\left( {2\,;\;4\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\) với \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).
Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt ba trục \(Hx\), \(Hy\), \(Hz\) lần lượt tại các điểm \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\) nên có phương trình: \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{2\sqrt 3 }} = 1\) \( \Leftrightarrow \,\,\, - 3x + 3y + \sqrt 3 z - 6 = 0\).
Gọi \[\varphi \] là góc giữa \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), ta có \[\cos \varphi = \frac{{\left| {1.\sqrt 3 } \right|}}{{1.\sqrt {9 + 9 + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\].
Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \[\frac{1}{{\sqrt 7 }}\].
Câu 3
A. \(66^\circ \).
B. \(69^\circ \).
C. \(70^\circ \).
D. \(71^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[{30^0}\].
B. \[{45^0}\].
C. \[{90^0}\].
D. \[{60^0}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
B. \[\frac{1}{2}\].
C. \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(30^\circ \).
B. \(45^\circ \).
C. \(60^\circ \).
D. \(90^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập