Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn với nhau tạo thành hình chữ  V vào các thanh đà sao cho chuẩn xác nhất. Biết phương trình mặt phẳng chứa 2 mái là \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\), điểm A là nóc ngói, 2 điểm B, F là rìa đuôi ngói của mỗi mái tiếp xúc giữa mái và  thanh đà như hình vẽ (các thanh đà dài như nhau) khi cố định phần dưới của ngôi nhà. Khoảng cách \(BF = 20\,m\), khi đó tỉ số độ dài của thanh đà AF và khoảng cách BF bằng

Chọn D.

Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Đặt \(AB = 230 = a\), \(SA = 219 = b\).

Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}\).

Do đó: \(A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {0\,;\; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\], \(D\left( {0\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[S\left( {0\,;\;0\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\].

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\; - \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {BG}  = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).

Suy ra \[\cos \left( {SA\,,\;BG} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BG} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BG} } \right|}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{4{b^2} - 2{a^2}}}{{12}}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{6}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\frac{{{b^2}}}{3}}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]

\[ = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}\]   \[ = \frac{{219}}{{\sqrt {471\;161} }}\].